Дослідження функції зростання і спадання функції

Розглянемо додаток похідної функції до дослідження поведінки функції. За першої похідної функції можна визначити проміжки зростання і спадання функції, а також визначити точки екстремуму функції (максимум і мінімум).

Визначення. Функція називається зростаючою в точці. якщо в деякій -окрестності цієї точки справедливо

Визначення. Функція називається зростаючою на відрізку. якщо для будь-яких двох точок справедливо нерівність

Визначення. Функція називається спадною в точці. якщо в деякій -окрестності цієї точки справедливо нерівність

Визначення. Функція називається спадною на відрізку. якщо для будь-яких двох точок справедливо нерівність

Визначення. Функція має в точці максимум. якщо значення є найбільшим в деякій двосторонніх околиці точки.

Визначення. Функція має в точці мінімум. якщо значення є найменшим в деякій двосторонньої околиці точки.

Визначення. Функція має в точці екстремум. якщо точка є точкою максимуму або мінімуму.

Ознаки (достатні) зростання та спадання функції.

Якщо 0 $ "> на інтервалі. То функція зростає на цьому інтервалі;

Якщо на інтервалі. то функція спадає на цьому інтервалі.

Необхідна умова екстремуму функції.

Функція може мати екстремум лише в точках, де або похідна не існує. Точка, де або похідна не існує називається критичною точкою.

Зауважимо, що якщо в точці виконується, що. то це означає, що дотична в даній точці паралельна осі. Якщо похідна в точці не існує, то це означає або дотична вертикальна, або її немає в даній точці.

Достатні умова екстремуму функції.

Якщо функція неперервна в точці і має в деякій околиці точки. крім, можливо самої точки. кінцеву похідну і якщо при переході через точку.

змінює знак з "+" на "-", то точка - точка максимуму;

змінює знак з "-" на "+", то точка - точка мінімуму;

не змінює знак, то точка не є точкою екстремуму.