Доказ § 1

§ 1. Будь-яка істина є не тільки вірне судження, т. Е. Судження, відповідне фактами. Будь-яка істина є, крім того, судження обґрунтоване, т. Е. Судження, висловлювання якого супроводжується зазначенням підстав, в силу яких воно істинне і має бути визнано дійсним.
Є судження, істинність яких засвідчується простим сприйняттям. Такі судження називаються безпосередньо очевидними і не потребують доведення. Приклади безпосередньо очевидних міркувань: «я бачу щось біле», «ця лінія - ламана».
Деякі з безпосередньо очевидних міркувань складають основу цілого ряду істин, в тому числі не володіють очевидністю, але відносяться до однієї і тієї ж області знання. Такі судження називаються аксіомами. Приклад аксіоми: «ціле більше своєї частини».
Судження, істинність яких не має безпосереднього очевидності, доводяться, т. Е. Приводяться до очевидності, за допомогою вказівки підстав, в силу яких вони є істинними.
Доказовість, як ми вже знаємо, є одне з найважливіших умов наукового знання. Величезна більшість наукових істин не дано безпосередньо для нашого сприйняття. Більш того. Безпосереднє сприйняття часто вводить нас в оману, так як часто показує нам явища не такими, які вони насправді. Наприклад, для безпосереднього сприйняття тільки що зійшла Місяць здається більшою за величиною, ніж та ж Місяць, коли вона високо підніметься над землею. Насправді кут, під яким видно діаметр Місяця, один і той же і в той момент, коли Місяць сходить, і в той, коли вона стоїть високо над горизонтом. Так як очевидність сприйняття може бути оманливою, то в найбільш точних науках, як математика, не довіряють непо

средственно очевидності сприйняття і прагнуть доводити, по можливості, всі істини, за винятком вкрай невеликого 'числа аксіом. Але і аксіоми час від часу переглядалися в математиці з метою встановити, чи не може бути число їх зменшено за допомогою докази тих з них, які в порівнянні з іншими представляються не настільки очевидними.
§ 2. У широкому сенсі слова доказом називається всякий спосіб з'ясування підстав, за якими відоме судження вважається дійсним. У цьому широкому сенсі слова до доказів належать також і висновки, чи умовиводи.
При виведенні підставою для укладення є не безпосереднє сприйняття, але істинність інших суджень, визнавши які в якості справжніх ми не можемо не визнати істинним і висновок. При виведенні істинність судження не просто стверджується, але доводиться. Однак доказ тут полягає лише в розсуді необхідного зв'язку між посилками і висновком, самі ж посилки приймаються в якості справжніх без дослідження і без перевірки їх істинності.
§ 3. У вужчому і спеціальному сенсі доказом називається не всякий висновок, але особливий вид виведення або особлива форма обгрунтування істини. У цьому - спеціальному - сенсі доказом називається дослідження істинності (або хибності) суджень. А саме: доказ є такий умовивід, за допомогою якого засвідчується істинність (або хибність) даного судження.
Порівняємо з цієї точки зору два наступних виведення:
Перший. «Так як всі злаки цвітуть колосками і так як всі бамбук - злаки, то все бамбук також цвітуть колосками».
Другий. «Якщо вірно, що всі злаки цвітуть колосками, а також що все бамбук - злаки, і якщо умовивід правильно, то вірно і те, що все бамбуки цвітуть колосками. Але твердження, що всі злаки цвітуть колосками і що все бамбук - злаки, істинні. Також правильний і самий хід умовиводи. Отже, висновок, що все бамбуки цвітуть колосками, істинно ».
У широкому сенсі поняття обидва ці виведення - докази. У спеціальному сенсі поняття доказом буде лише другий висновок, перший же буде звичайним висновком. Перший висновок є розсуд необхідного зв'язку між посилками і висновком. Другий висновок є доказ того, що висновок, т. Е. Судження «всі бамбуки цвітуть колосками», істинно. Перший висновок полягає тільки із зіставлення посилок і з розсуду випливає з них висновки. Другий - більш складний і являє умовивід про умовивід. А саме: умовивід, що становить предмет іншого умовиводи, є умовне ухмозаключеніе: «Якщо судження« всі злаки цвітуть колосками »і« все бамбук - злаки »істинні і якщо сам умовивід - правильне, то висновок« все бамбуки цвітуть колосками »істинно». Друге умовивід засвідчує істинність першого: «Так як істинно, що все злаки цвітуть колосками і що все бамбук-злаки, і так як умовивід виявилося правильним, то висновок« все бамбуки цвітуть колосками »істинно».
§ 4. Можна було б подумати, ніби різниця виведення, або умовиводи, від докази полягає в тому, що у висновку думка йде від посилок до висновку, а в доказі, навпаки, - від доказуваного положення до посилки, або підстав, з яких воно виводиться.
Насправді як у висновку, так і в доведенні хід думки може бути і той і інший. В одних випадках висновок полягає в тому, що дані посилки і потрібно цзвлечь з них висновок.

Наприклад, дані посилки: «калій - метал», «калій не тоне у воді»; потрібно відповісти на питання: яке висновок випливає з цих посилок? Відповідь: «деякі метали не тонуть у воді». Тут думка йде від посилок до висновку.
Інший приклад. Дано судження: «деякі метали не тонуть у воді»; потрібно відповісти на питання: якими посилками може бути обгрунтовано це судження як висновок виведення? Відповідь: такими посилками можуть бути, наприклад, посилки: «калій - метал» і «калій не тоне у воді». Тут думка йде від укладення до обгрунтовують цей висновок посилок.
Але не інакше йде справа і з доказом. І в доказі можливі, як ми переконаємося нижче, два способи встановлення істинності доказуваного положення: один полягає в тому, що від встановлених або визнаних положень міркування йде через ряд наслідків, виведених з цих положень, до доказуваному судження; інший полягає в тому, що, розглянувши доказувана судження, показують, що, за умови, якщо це судження прийнято в якості істинного, з нього випливає ряд положень, істинність яких вже встановлена ​​і які були доведені іншими способами.
Таким чином, відмінність докази від виведення, або умовиводи, зовсім не в тому, що у висновку думка йде від посилок до висновку, а в доказі - навпаки. І у висновку і в доведенні одно можливі обидва ці ходу думки.
Головна відмінність докази від висновку полягає в тому, що висновок є розсуд необхідного зв'язку між поняттями, що утворюють вивідний судження, доказ ж є не тільки розсуд зв'язку між поняттями, а й розсуд істинності судження. Зрозуміло, що там, де істинність судження обгрунтовується, як в розглянутому вище прикладі, за допомогою умовиводи, доведення приймає форму умовиводу про умовивід.
§ б. Цим відмінністю між висновком і доказом визначається будова докази.
З логічної точки зору такі докази не є самий процес доказування. Доказ є особлива логічна форма, що виражає логічний результат вже відбувся процесу доказування, т. Е. Виправдання (або спростування) доказуваного (або спростовується) положення.
У всякому доведенні є в наявності, по-перше, що доводиться положення, яке засвідчує, що відому тезу правдивий (або, навпаки, хибна). Так, в розглянутому нами прикладі доводимо становищем є положення: «висновок, що все бамбуки цвітуть колосками, істинно». Звідси видно, що доказувана положення повинно бути отлічаемо від тези. Теза є те судження, істинність або хибність якого доводиться. У нашому прикладі теза - судження: «все бамбуки цвітуть колосками». Доказувана положення є судження про тезу, або судження, в якому теза засвідчується в якості істинного або хибного. У нашому прикладі доводимо становищем буде наступне: «висновок, що все бамбуки цвітуть колосками, істинно». Доказувана положення містить в собі тезу як свою частину.
Різниця між доводимо становищем і тезою ясно виступає в доказах, завданням яких є спростування, т. Е. Доказ помилковості даного тези. При спростуванні доказувана положення завжди формулюється так, щоб ясно було не тільки те, про яке тезі йде мова, але і те, що теза цей хибна. Тут окремо даються і теза і характеристика цієї тези в якості помилкового.
Навпаки, в доказах, завданням яких є виправдання, т. Е. Доказ істинності. розглянутого тези, що доводиться положення дуже часто формулюється так, що виражається тільки цю тезу, характеристика 'же істинності тези опускається. У нашому прикладі доказувана положення замість повної форми ( «судження« всі бамбук - злаки »істинно») могло б бути виражено і в скороченій формі: «все бамбук - злаки».
Однак незалежно від того, чи перебуває доказувана положення з одного лише тези або з тези, супроводжуваного окремої характеристикою його істінностц (або хибність), головне завдання будь-якого докази полягає іменне характеристиці істинності (або лоерсності) тези. Там, де доказувана положення складається з одного лише тези, характеристика зливається в одне ціле з твердженням тези, але не втрачає від цього свого значення.
Друга складова частина будь-якого докази - підстави, т. Е. Судження, істинність яких або вже встановлена, або принаймні передбачається безсумнівною і які тому можуть служити посилками умовиводів, за допомогою яких доводиться положення про істинність (або хибність) тези.
Третя складова частина будь-якого докази - міркування (аргументація, демонстрація), т. Е. Ряд умовиводів, які доводять істинність (або хибність) тези. В міркувань зіставляються підстави, які виступають в якості посилок умовиводи, з висновками, які з цих підстав слідують. Для позначення частин докази в цілому вживаються іноді терміни «аргумент» і «аргумент». Іноді «доводом» (або «аргументом») називають все доказ в цілому, т. Е. Тезу, підстави і міркування. Іноді ж термінами цими позначаються підстави докази.