Додатки певного інтеграла

2.8. Геометричні і фізичні додатки певного інтеграла

1. Обчислення площі плоскої фігури

1.1. Нехай функція неперервна і невід'ємна на відрізку [a, b]. Тоді площа фігури, обмеженої віссю ОХ. відрізками прямих x = a, x = b і графіком функції. може бути обчислена за формулою (див. 10.1 рис. 1).

1.2. Якщо на відрізку [a, b], - безперервні функції, то площа фігури, обмеженої прямими х = а. x = b. графіками функцій обчислюється за формулою (рис. 10).

1.3. Якщо функція на відрізку [a, b] приймає значення різних знаків, то площа фігури, укладена між кривою і віссю. дорівнює (рис. 11).

Мал. 10 р ис. 11

П р и м і р 15. Обчислити площу фігури, обмеженої графіками функцій і.

Рішення. Обчислимо координати точок перетину графіків цих функцій. Для цього вирішимо систему

1.4. При обчисленні площі криволінійної трапеції, в разі коли верхня межа задана параметричними рівняннями a £ t £ b у формулі треба зробити заміну змінної, поклавши. тоді отримаємо. де a і b - значення параметра t. відповідають значенням x = a і x = b. т. е..

П р и м і р 16. Знайти пло-ща фігури, обмеженою од ної аркою циклоїди і віссю.

Зауваження. Циклоїда - плоска крива, яку описує точка М кола радіуса a. котиться без ковзання по прямій лінії (рис. 13).

Рішення. шукана площа

П р и м і р 17. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями, заданими рівняннями. y = 2.

Рішення. З умови задачі випливає, що y> 0 при будь-якому t. вирішимо
нерівність

Але за умовою. При k = 0

При x не належатиме інтервалу. Фактично потрібно обчислити площу фігури, укладеної між прямою y = 2 і частиною циклоїди, розташованої вище цієї прямої (рис. 14).

2. Обчислення площі криволінійного сектора. Нехай крива AB заду-на в полярних координатах рівнянням. . причому - безперервна і неотрицательная на відрізку функція. Фігуру, обмежену кривою AB і двома полярними радіусами, складовими з полярною віссю кути. будемо називати криволінійним сектором.

Площа криволінійного сектора може бути обчислена за формулою

П р и м і р 18. Обчислити площу фігури, обмеженої кривою (4-пелюсткова троянда - рис. 16).

Рішення. Змінюючи безперервно j від 0 до. можна побудувати перший пелюстка. Складемо таблицю значень функцій (табл. 3).

4. Обчислення обсягів. Знаходження обсягів деяких тіл можна звести до обчислення певних інтегралів.

4.1. Обчислення обсягу тіла за відомими площами паралельних перерізів. Якщо відомі площі перетинів тіла площинами, перпендикулярними осі OX. т. е. знаючи х, ми можемо обчислити площу перерізу S = S (x). Тоді обсяг тіла в припущенні, що S (x) - інтегрована функція.

4.2. Обчислення обсягу тіла обертання:

а) якщо тіло утворено обертанням криволінійної трапеції, обмеженої кривою y = f (x), віссю OX і двома прямими x = a иx = b (a

б) а якщо тіло утворено обертанням фігури, обмеженої кривою. прямими y = c, y = d (c

в) якщо тіло утворено обертанням навколо осі OY фігури, обмеженої лінією y = f (x), прямими x = a, x = b і віссю OX. то його обсяг можна обчислити за формулою;

г) якщо обертається навколо полярної осі криволінійний сектор, обмежений дугою. двома полярними радіусами і. то обсяг отриманого тіла може бути обчислений за формулою.

П р и м і р 21. Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої графіками функцій і навколо осі OX.

Рішення. н Айдем точки перетину параболи і прямої. Вирішимо систему:

Отримаємо дві точки перетину: