дифракційна решітка

Дифракційна решітка - оптичний пристрій, що представляє собою сукупність великого числа паралельних, зазвичай рівновіддалених один від одного, щілин.

Дифракційну решітку можна отримати нанесенням непрозорих подряпин (штрихів) на скляну пластину. Непроцарапанние місця - щілини - будуть пропускати світло; штрихи, відповідні проміжку між щілинами, розсіюють і не пропускають світла. Перетин такої дифракційної решітки (а) і її умовне позначення (б) показані на рис. 19.12. Сумарну ширину щілини а й проміжку б між щілинами називають постійної або періодом дифракційної решітки:

Якщо на решітку падає пучок когерентних хвиль, то вторинні хвилі, що йдуть по всіляких напрямках, будуть интерферировать, формуючи дифракційну картину.

Нехай на решітку нормально падає плоскопараллельний пучок когерентних хвиль (рис. 19.13). Виберемо деякий напрям вторинних хвиль під кутом a щодо нормалі до грат. Промені, що йдуть від крайніх точок двох сусідніх щілин, мають різницю ходу d = А'В '. Така ж різниця ходу буде для вторинний-них хвиль, що йдуть від відповідно розташованих пар точок сусідніх щілин. Якщо ця різниця ходу кратна цілому числу довжин хвиль, то при інтерференції виникнуть головні максиму ми, для яких виконується умова ÷ А'В ¢ ÷ = ± kl, або

де k = 0,1,2. - порядок головних максимумів. Вони розташовані симетрично щодо центрального (k = 0, a = 0). Рівність (19.29) є основною формулою дифракційної решітки.

Між головними максимумами утворюються мінімуми (додаткові), число яких залежить від числа всіх щілин решітки. Виведемо умова для додаткових мінімумів. Нехай різниця ходу вторинних хвиль, що йдуть під кутом a від відповідних точок сусідніх щілин, дорівнює l / N, т. Е.

де N - число щілин дифракційної решітки. Цією різниці ходу 5 [см. (19.9)] відповідає різниця фаз Dj = 2p / N.

Якщо вважати, що вторинна хвиля від першої щілини має в момент складання з іншими хвилями нульову фазу, то фаза хвилі від другої щілини дорівнює 2p / N, від третьої - 4p / N, від четвертої - 6p / N і т. Д. Результат додавання цих хвиль з урахуванням фазового відмінності зручно отримати за допомогою векторної діаграми: сума N однакових векторів напруженості електричного поля, кут (різниця фаз) між будь-якими сусідніми з яких є 2p / N, дорівнює нулю. Це означає, що умова (19.30) відповідає • мінімуму. При різниці ходу вторинних хвиль від сусідніх щілин d = 2 (l / N) іліразності фаз Dj = 2 (2p / N) буде також отримано мінімум інтерференції вторинних хвиль, що йдуть від усіх щілин, і т. Д.

В якості ілюстрації на рис. 19.14 зображена векторна діаграма, відповідна дифракційної решітці, що складається з шести щілин: і т. Д. - вектори напруженості електричної складової електромагнітних хвиль від першої, другої і т. Д. Щілин. Виникаючі при інтерференції п'ять додаткових мінімумів (сума векторів дорівнює нулю) спостерігаються при різниці фаз хвиль, що приходять від сусідніх щілин, в 60 ° (а), 120 ° (б), 180 ° (в), 240 ° (г) і 300 ° (д).

Так, можна переконатися, що між центральним і кожним першим головним максимумами є N -1 додаткових мінімумів, які відповідають умові

Між першим і другим головними максимумами також розташовані N - 1 додаткових мінімумів, які відповідають умові

і т. д. Отже, між будь-якими двома сусідніми головними максимумами спостерігається N - 1 додаткових мінімумів.

При великій кількості щілин окремі додаткові мінімуми практично не розрізняються, а весь простір між головними максимумами виглядає темним. Чим більше число щілин дифракційної решітки, тим більше різання головні максимуми. На рис. 19.15 представлені фотографії дифракційної картини, отриманої від решіток з різним числом N щілин (постійна дифракційної решітки однакова), а на рис. 19.16 - графік розподілу інтенсивності.

Особливо відзначимо роль мінімумів від однієї щілини. У напрямку, що відповідає умові (19.27), кожна щілина дає мінімум, тому мінімум від однієї щілини збережеться і для всієї решітки. Якщо для деякого напряму одночасно виконуються умови мінімуму для щілини (19.27) і головного максимуму решітки (19.29), то відповідний головний максимум не виникне. Зазвичай намагаються використовувати головні максимуми, які розміщуються між першими мінімумами від однієї щілини, т. Е. В інтервалі

При падінні на дифракційну решітку білого або іншого немонохроматичного світла кожен головний максимум, крім центрального, виявиться розкладеним в спектр [см. (19.29)]. В цьому випадку k вказує порядок спектра.

Таким чином, решітка є спектральним приладом, тому для неї істотні характеристики, які дозволяють оцінювати можливість розрізнення (дозволу) спектральних ліній.

Одна з таких характеристик - кутова дисперсія - визначає кутову ширину спектра. Вона чисельно дорівнює кутовій відстані da між двома лініями спектра, довжини хвиль яких розрізняються на одиницю (dl. = 1):

Диференціюючи (19.29) і використовуючи тільки позитивні значення величин, отримуємо

З останніх двох рівностей маємо

Так як зазвичай використовують невеликі кути дифракції, то cos a »1. Кутова дисперсія D тим вище, чим більше порядок k спектра і чим менше постійна з дифракційної решітки.

Можливість розрізняти близькі спектральні лінії залежить не тільки від ширини спектра, або кутовий дисперсії, а й від ширини спектральних ліній, які можуть накладатися один на одного.

Прийнято вважати, що якщо між двома дифракційними максимумами однакової інтенсивності знаходиться область, де сумарна інтенсивність становить 80% від максимальної, то спектральні лінії, яким відповідають ці максимуми, вже вирішуються. При цьому, згідно з Дж. У. Релею, максимум однієї лінії збігається з найближчим мінімумом іншої, що і вважається критерієм дозволу. На рис. 19.17 зображено залежність інтенсивності I окремих ліній від довжини хвилі (суцільна крива) і їх сумарна інтенсивність (штрихова крива). З малюнків легко побачити невирішеність двох ліній (а) і граничну дозволяння (б), коли максимум однієї лінії збігається з найближчим мінімумом іншої.

Дозвіл спектральних ліній кількісно оцінюється роздільною здатністю, яка дорівнює відношенню довжини хвилі до найменшому інтервалу довжин хвиль, які ще можуть бути дозволені:

Так, якщо є дві близькі лінії з довжинами хвиль l1 ³ l2, Dl = l1 - l2, то (19.35) можна наближено записати у вигляді

Умова головного максимуму для першої хвилі

З ним збігається найближчий мінімум для другої хвилі, умова якого

Прирівнюючи праві частини останніх двох рівностей, маємо

звідки [з урахуванням (19.36)]

Отже, роздільна здатність дифракційної решітки тим більше, чим більше порядок k спектра і число N штрихів.

Розглянемо приклад. В спектрі, отриманому від дифракційної решітки з числом щілин N = 10 000, є дві лінії поблизу довжини хвилі l = 600 нм. При якій найменшій різниці довжин хвиль Dl ці лінії розрізняються в спектрі третього порядку (k = 3)?

Для відповіді на це питання прирівняємо (19.35) і (19.37), l / Dl = kN, звідки Dl = l / (kN). Підставляючи числові значення в цю формулу, знаходимо Dl = 600 нм / (3 • 10 000) = 0,02 нм.

Так, наприклад, помітні в спектрі лінії з довжинами хвиль 600,00 і 600,02 нм і не помітні лінії з довжинами хвиль 600,00 і 600,01 нм

Виведемо формулу дифракційної решітки для похилого падіння когерентних променів (рис. 19.18, b - кут падіння). Умови формування дифракційної картини (лінза, екран в фокальній площині) ті ж, що і при нормальному падінні.

Проведемо перпендикуляри А'В кпадающім променів і АВ 'до вторинних хвилях, що йде під кутом a до перпендикуляру, восставленний до площини решітки. З рис. 19.18 видно, що до положення А ¢ В промені мають однакову фазу, від АВ 'і далі різниця фаз променів зберігається. Отже, різниця ходу є

З D АА'В маємо АА ¢ = АВ sin b = з sin b. З DВВ'А знаходимо ВВ '= АВ sin a = з sin a. Підставляючи вирази для АА ¢ і ВВ 'в (19.38) і враховуючи умову для головних максимумів, маємо

Центральний головний максимум відповідає напрямку падаючих променів (a = b).

Поряд з прозорими дифракційними гратами використовують відбивні, у яких штрихи нанесені на металеву поверхню. Спостереження при цьому ведеться у відбитому світлі. Відбивні дифракційні решітки, виготовлені на увігнутій поверхні, здатні утворювати дифракційну картину без лінзи.

В сучасних дифракційних решітках максимальне число штрихів становить понад 2000 на 1 мм, а довжина решітки більше 300 мм, що дає значення N близько мільйона.