Диференціальні рівняння - загальна інформація та сфера застосування

Вивчаючи явища природи, вирішуючи всілякі завдання з економіки, біології, фізики, техніці, не завжди є можливість безпосередньо встановити прямий зв'язок між деякими значеннями, які описують той чи інший еволюційний процес. Як правило, можна визначити зв'язок між цими величинами (функціями) і швидкістю їх зміни по відношенню до інших (незалежним) змінним. При цьому виникають

рівняння, в яких невідомі функції стоять під знаком похідної - це диференціальні рівняння. На їх дослідження витратили чимало часу безліч відомих вчених: Ньютон, Бернуллі, Лаплас та інші. Застосування диференціальних рівнянь досить широко: в моделях економічної динаміки, де відображаються не тільки залежність змінних в часі, але і їх взаємозв'язок з часом, в задачах мікро- і макроекономіки; з їх допомогою описують поширення електромагнітних і теплових хвиль і різні еволюційні явища, які відбуваються в живій і неживій природі.

Диференціальні рівняння бувають:

1) Звичайні рівняння І-го порядку, які інтегруються в квадратах. Ці, в свою чергу, діляться на: диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними; ДУ з відокремленими змінними; однорідні ДУ; лінійні ДУ; рівняння в повних диференціалах.

2) ДУ вищих порядків.

3) Лінійні ДУ ІІ-го порядку, які бувають лінійними однорідними ДУ ІІ-го порядку з постійними коефіцієнтами і лінійними неоднорідними ДУ з постійними коефіцієнтами.

Вирішуються ДУ також декількома способами, найбільш поширені з яких - задача Коші, методи Ейлера і Бернуллі та інші.

У багатьох задачах економіки, математики, техніки необхідно вирахувати певну кількість функцій, пов'язаних між собою деякою кількістю ДУ. Тоді нам на допомогу приходять системи диференціальних рівнянь: сукупність рівнянь, в кожне з яких входять незалежна змінна, функції цієї незалежної і їх похідні.

Якщо система лінійна щодо невідомих функцій, то вона називається лінійною системою диференціальних рівнянь. Нормальну систему диференціальних рівнянь можна замінити одним ДУ, порядок якого дорівнює кількості рівнянь системи.

Перетворення системи ДУ до одного рівняння в деяких випадках відбувається за допомогою методу виключення.

Крім усього перерахованого вище, існують і лінійні системи з постійними коефіцієнтами, які легко вирішуються за методом Ейлера.