Диференціальні рівняння другого порядку, які допускають зниження порядку
Головна | Про нас | Зворотній зв'язок
Розглянемо найпростіші випадки диференціальних рівнянь другого порядку, які допускають зниження порядку.
1. Найпростішим рівнянням такого виду є рівняння:
,
тобто рівняння, права частина якого залежить лише від незалежної змінної. Проинтегрировав ліву і праву частини рівняння, отримаємо. де - довільна інтегрування.
Таким чином, диференціальне рівняння другого порядку має безліч рішень. Як зазначено вище, щоб знайти приватне рішення частини, необхідно задовольнити початкових умов, тобто визначити довільні
Рішення. Оскільки. то. тобто . Тоді. Таким чином .
Проинтегрировав обидві частини отриманого виразу, ми отримаємо загальне рішення початкового рівняння:.
Приклад 2. Знайти приватне рішення. яке задовольняє початковим умовам. .
Спочатку шукаємо спільне рішення. Потрібно послідовно проинтегрировать дане рівняння. Приймаючи до уваги, що
Помножимо на обидві частини рівняння. інтегруємо
.
Тепер потрібно знайти і враховуючи початкові умови. За умовою і тоді
Отже. . тоді
2. Диференціальне рівняння, яке допускає зниження порядку, виду:.
Права частина рівняння не містить в собі невідому функцію. У цьому випадку рівняння може бути вирішено за допомогою підстановки:
. .
В результаті застосування цієї підстановки рівняння набуває вигляду:. тобто його порядок знижується. Отже, маємо диференціальне рівняння першого порядку.
Рішення. Оскільки рівняння не містить в собі невідому функцію. то для його вирішення використовуємо підстановку: і. Тоді отримаємо:
Прирівнявши вираз, яке стоїть в останньому рівнянні в дужках, до нуля, ми отримаємо:
Проинтегрировав ліву і праву частини останнього співвідношення отримаємо:. Отже, для знаходження невідомої функції маємо диференціальне рівняння:
Таким чином, функція дорівнює:. Тепер знайдемо функцію.
Оскільки. то маємо:.
Далі проинтегрировав обидві частини останнього рівняння, отримаємо остаточне рішення початкового рівняння:
Приклад 4. Знайти спільне рішення.
Рішення. Застосовуємо заміну. звідки. Після цього дане рівняння набуває вигляду:. Отримали рівняння з розділяються змінними
Беремо інтеграл від обох частин
З огляду на, що маємо
Інтегруємо обидві частини останнього рівності
для знаходження
Інтеграл набирає вигляду
.
3. Рівняння, яке не містить явно аргумент:. Права частина рівняння в цьому випадку не містить в собі незалежну змінну і рішення можна отримати за допомогою підстановки:
Підставляючи невідому функцію і її похідну в початкове рівняння, отримаємо диференціальне рівняння першого порядку щодо як функції від:
.
Позначивши і та підставивши ці вирази в початкове рівняння, отримаємо: - диференціальне рівняння з розділяються змінними. Відокремивши змінні, отримаємо:
Проинтегрировав обидві частини отриманого рівняння, отримаємо загальний інтеграл початкового диференціального рівняння:
.