Декартові координати довільного вектора в просторі

З визначення різниці векторів і формули (1.6) отримаємо

Отже, проекції вектора на координатні осі відповідно рівні

Опр. Числа = хВ - хА. = УВ - УА. = Zв - zА називаються декартовими координатами вектора = в просторі.

NB. Кожна декартова координата вектора чисельно дорівнює його проекції на відповідну вісь.

По властивості проекції вектора на вісь маємо:

(1.12) Þ . (1.13)

де (по теоремі Піфагора) | | дорівнює:

Знайти координати вектора =. його довжину і напрямні косинуси, якщо А (1; 3; 2), В (5; 8; -1).

= 4 + 5 - 3; | | = = = = 5;

Знайти на осі Ох координати точки М, яка рівновіддалена від точок А (2; -4; 6) і В (-3; 2; 5).

За умовою | | = | |. Так як точка МÎОх Þ М (х; 0; 0). Тому

Так як | | = | | Þ (Х - 2) 2 + 52 = (х + 3) 2 + 29 Þ х 2 - 4х + 56 = х 2 + 6х +38 Þ 10х = 18 Þ х = 1,8 Þ М (1,8; 0; 0). Відповідь: М (1,8; 0; 0).

Дії над векторами, заданими своїми координатами.

Нехай = × + × + × = (ax; ay; az); = × + × + × = (bx; by; bz)

Лінійні операції над векторами.

2) = × + × + × = (ax; ay; az).

Умова рівності двох векторів.

Умова коллинеарности двох векторів.

якщо || Þ = × Þ Þ (1.15).

Отже, у колінеарних векторів все проекції пропорційні.

При яких значеннях a і b вектори = (a; 3; -1); = (2; 6; b) колінеарні.

В даному випадку рівність (1.15) набуде вигляду: Þ a = 1; b = -2.

Розподіл відрізка в даному відношенні.

Нехай в просторі дано дві різні точки М1 (х1; y1; z1) і М2 (x2; y2; z2) (рис.1.13). Знайдемо координати точки М (x; y; z), яка ділить відрізок [M1 M2] в відношенні. Але так як розподіл векторів не визначене, то скористаємося еквівалентною співвідношенням = ×.

1) якщо МÎ[M1 M2], то кажуть, що точка М ділить відрізок [M1 M2] внутрішнім чином. В цьому випадку -- . Отже,> 0;

2) якщо МÏ[M1 M2], то кажуть, що точка М ділить відрізок [M1 M2] зовнішнім чином. В цьому випадку -¯ . отже, <0;

3) ¹ -1. Якби = -1, то тоді Þ = - Þ + = 0 Þ Þ М1 = М2. А це суперечить умові, що точки М1 і М2 різні;

4) якщо = 0 Þ М = М1;

5) якщо | | = ¥ Þ М = М2.

З рівності = × Þ

Þ Þ Þ . (¹ -1), (1.16)

де (x; y; z) - координати точки М і радіус-вектора. (Х1; y1; z1) - координати точки М1 і радіус-вектора. а (x2; y2; z2) - координати точки М2 і радіус-вектора. Тоді систему рівнянь (1.16) можна коротко записати одним векторних рівнянням

Приклад 1. Дано: М1 (-3; 2; 4), М2 (6, 0, 1). Визначити координати точки М (x; y; z), що ділить відрізок [M1 M2] щодо = 2.

Рішення. Так як координати точки М рівні координатами її радіус-вектора. то за формулою (1.17) отримаємо

Обчислити координати точки М, що ділить навпіл вектор. якщо М1 (2; 8; 6), М2 (4; -6; 0).

Рішення. Так як точка М ділить відрізок [M1 M2] навпіл, то = Þ =. Þ = 1. Тоді за формулами (1.16) отримаємо Þ М (3; 1; 3).

Дано дві вершини трикутника АВС: А (5; 3), В (2; -1) і точка М (2; 2) перетину його медіан. Визначити координати вершини С трикутника АВС (ріс.1.14).

Рішення. За умовою точка D ділить відрізок [AB] навпіл. Тоді за формулами ділення відрізка навпіл знайдемо координати точки D:

Відповідно до властивості перетину медіан трикутника точка М ділить відрізок [СD] щодо =. Отже, хм = Þ ХС = Хм (1+) - хD = 2 × 3 - 2 × = -1; розум = Þ Ус = розум (1 +) - уD = 2 × 3 - 2 × 1 = 4 Þ С (-1; 4) Відповідь: С (-1; 4).

Визначити координати кінців відрізка [AB], якщо точки С (2; 0; 2) і D (5; -2; 0) ділять його на три рівні частини (ріс.1.15):

Рішення. Точка С є серединою відрізка [А D], отже,

Аналогічно, точка D є серединою відрізка [СВ], отже,

Відповідь: А (-1; 2; 4); В (8; -4; -2).

Скалярний добуток двох векторів.

Опр. Скалярний добуток двох векторів і є число, що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними. Позначення ×. або (.).

Таким чином, × = | | × | | × cosj, де j =. (2.1)

Так як | | × cosj = і | | × cosj = (рис.2.1), то рівність (2.1) можна записати в наступному вигляді

× = | | × = | | × (2.2)

NB. Механічний сенс скалярного твори. Якщо тіло під дією постійної сили переміщається на відстань. то це означає, що над тілом здійснена механічна робота А, чисельно рівна скалярному добутку сили на вектор переміщення. тобто А = ×.