числові послідовності
Послідовністю називається безліч чисел, перенумерованих за допомогою натуральних чисел і розставлених в порядку зростання їх номерів x1, x2. xn
Числа x1, x2. xn - називаються елементами послідовності, символ xn - загальним елементом. а число n - його номером. Скорочено послідовність позначається символом n>.
Рахунковим безліччю називається безліч еквівалентну безлічі натуральних чисел. Отже будь-яка послідовність є рахунковим безліччю.
межа послідовності
Околицею точки x0 називається будь-який інтервал, що містить цю точку.
δ - околицею точки x0 Uδ (x0) називається інтервал довжиною 2δ з центром в цій точці.
Визначення границі послідовності
Число а називається межею последовательностіn>, якщо для будь-якого ε> 0 знайдеться номер n0 = n0 (ε) ∈ N такий, що для всіх номерів n> n0 виконується нерівність | xn - a | <ε
Число b називається межею послідовності n> = x1. x2. xn (lim n> = b; n → ∞)
Послідовність n>, що має кінцевий межа а, називається збіжної.
Послідовність, що має нескінченну границю або взагалі не має меж, називається розходиться
Властивості збіжних послідовностей
Теорема 1.
Збіжна послідовність має тільки один межа.
Теормера 6 Про збіжність підпослідовності
Теорема 7 Про арифметичні дії над сходяться послідовностями
Теорема 8 Критерій Коші збіжності послідовності
Для того щоб послідовність n> сходилася, необхідно і достатньо, щоб ∀ε> 0 ∃номер n0 такий, що ∀n> n0 і будь-якого p∈N виконувалося нерівність | xn + p - xn | <ε
Якщо межа послідовності дорівнює нулю, то її називають нескінченно малою
Властивості нескінченно малих послідовностей
