Числові характеристики вибірки - студопедія

Нехай випадковий експеримент описується випадковою величиною X. розподіл якої залежить від одного або декілька параметрів. До них, зокрема, відносяться середнє, мода, медіана, середнє квадратичне відхилення, дисперсія, коефіцієнти ексцесу і асиметрії, розмах варіації, звані параметрами генеральної сукупності. При дослідженні випадкової величини X з генеральної сукупності її можливих значень витягується вибірка обсягу n. По даній вибірці можна наближено обчислити значення кожного з досліджуваних параметрів, які в статистиці називаються числовими оцінками параметрів або просто оцінками.

Дані характеристики умовно розбиваються на чотири групи:

· Показники положення варіант на числової осі;

· Показники розкиду варіант щодо свого центру, що визначають кучність даних біля центру;

· Показники асиметрії розподілу варіант біля свого центру;

· Показники, що описують закон розподілу.

Нехай вибірка задана варіаційним рядом (табл. 4).

Таблиця 4.Варіаціонний ряд

Відносні частоти wi

Вибірковим середнім значенням вибірки називається число, яке визначається за формулою. де xi - варіанта з частотою ni. n - число спостережень,. Якщо частоти дорівнюють одиниці, то k = n. При досить великих n використовують формулу: де k - число значень варіаційного ряду, wi - відносна частота варіанти xi.

Вибіркової медианой називається значення ознаки, що знаходиться в середині варіаційного ряду. Якщо число варіант непарній, т. Е.. то медіаною є () -я варіанту (); якщо ж число варіант парне, то медіана дорівнює середньому арифметичному двох значень в середині ряду:.

Вибіркової модою (Мо) називається варіанту вибірки, що має найбільшу частоту. Якщо кілька сусідніх значень мають найбільшу частоту, то модою є їх середнє арифметичне:

. де для варіант частоти. Якщо дві або більше несуміжних варіант мають різні найбільші частоти, то ряд називається полімодальний. Якщо ж всі варіанти зустрічаються однаково часто, то ряд моди не має.

Мода і медіана використовуються в якості характеристики середнього положення в разі, якщо межі ряду нечіткі або якщо ряд не симетричний.

Для опису розсіювання значень випадкової величини щодо вибіркового середнього використовуються вибіркова дисперсія і вибіркове середнє квадратичне відхилення.

Вибіркової дисперсією значень вибірки x1, x2, ..., xn> називається число, яке визначається за формулою

.

Після перетворень виходить наступна формула:

.

Якщо заданий варіаційний ряд, то використовується формула. де k - число варіант, wi - відносна частота варіанти.

Вибірковим середнім квадратичним відхиленням називається число, яке знаходиться за формулою.

Приклад 7.2. Вибірка задана розподілом частот