Число e, математика, яка мені подобається

Наступна поява числа знову cомнітельно. У 1647 р Сен-Вінсент (Saint-Vincent) обчислив площу сектора гіперболи. Чи розумів він зв'язок з логарифмами, залишається тільки здогадуватися, але навіть якщо розумів, то навряд чи він міг прийти до самого числа. Тільки до 1661 р Гюйгенс (Huygens) зрозумів зв'язок між равнобочной гіперболою і логарифмами. Він довів, що площа під графіком равнобочной гіперболи равнобочной гіперболи на проміжку від 1 до дорівнює 1. Це властивість робить підставою натуральних логарифмів, але це не розуміли математики того часу, однак вони повільно наближалися до цього розуміння.

Гюйгенс зробив наступний крок в 1661 г. Він визначив криву, яку назвав логарифмічною (в нашій термінології ми будемо називати її експоненційної). Це крива виду. І знову з'являється десятковий логарифм, який Гюйгенс знаходить з точністю до 17 десяткових цифр. Однак він виник у Гюйгенса як якась константа і не був пов'язаний з логарифмом числа (отже, знову підійшли впритул до, але саме число залишається невпізнаним).

Дивно, що число в явному вигляді вперше виникає не у зв'язку з логарифмами, а в зв'язку з нескінченними творами. У 1683 р Якоб Бернуллі намагається знайти

Він використовує біноміальними теорему для доказу того, що ця межа знаходиться між 2 і 3, і це ми можемо розглядати як перше наближення числа. Хоча ми приймаємо це за визначення, це перший випадок, коли число визначається як межа. Бернуллі, звичайно, не зрозумів зв'язку між своєю роботою і роботами з логарифмам.

Раніше згадувалося, що логарифми на початку їх вивчення ніяк не зв'язувалися з експонентами. Звичайно, з рівняння ми знаходимо, що, але це набагато більш пізній спосіб сприйняття. Тут ми справді маємо на увазі під логарифмом функцію, тоді як спочатку логарифм розглядався тільки як число, яке допомагало в обчисленнях. Можливо, Якоб Бернуллі першим зрозумів, що логарифмічна функція є зворотною показовою. З іншого боку, першим, хто пов'язав логарифми і ступеня, міг бути Джеймс Грегорі (Games Gregory). У 1684 р він виразно усвідомив зв'язок між логарифмами і ступенями, але, можливо, він був не першим.

Ми знаємо, що число з'явилося в тому вигляді, як зараз, в 1690 р Лейбніц в листі до Гюйгенсу використовував для нього позначення. Нарешті у з'явилося позначення (хоча воно не збігалося з сучасним), і це позначення було визнано.

У 1697 р Йоганн Бернуллі починає вивчення показовою функції і публікує Principia calculi exponentialum seu percurrentium. У цій роботі обчислюються суми різних експоненційних рядів, і отримані деякі результати їх почленного інтеграції.

Ейлер (Euler) ввів так багато математичних позначень, що
не дивно, що позначення також належить йому. Здається смішним твердження, що він використовував літеру через те, що це перша буква його імені. Ймовірно, це навіть не тому, що взято від слова "exponential", а просто це наступна голосна за "a", а Ейлер вже використовував позначення "a" в своїй роботі. Незалежно від причини, позначення вперше з'являється в листі Ейлера Гольдбаху (Goldbach) в 1731 р Він зробив багато відкриттів, вивчаючи надалі, але тільки в 1748 р в Introductio in Analysin infinitorum він дав повне обгрунтування всім ідеям, пов'язаних с. Він показав, що
e = 1 + \ frac + \ frac + \ frac + \ ldots \ mbox<\rm и> e = \ lim_ \ left (1 + \ frac \ right) ^ n. \ hskip1cm (1)
"Title =" \ displaystyle
e = 1 + \ frac + \ frac + \ frac + \ ldots \ mbox<\rm и> e = \ lim_ \ left (1 + \ frac \ right) ^ n. \ hskip1cm (1)
"Style =" vertical-align: -17px; border: none; ">
Ейлер також знайшов перші 18 десяткових знаків числа:

правда, не пояснюючи, як він їх отримав. Схоже, що він вирахував це значення сам. Насправді, якщо взяти близько 20 членів ряду (1), то вийде точність, яку отримав Ейлер. Серед інших цікавих результатів в його роботі приведена зв'язок між функціями синус і косинус і комплексної показовою функцією, яку Ейлер вивів з формули Муавра.

Цікаво, що Ейлер знайшов навіть розкладання числа в безперервні дроби і привів зразки такого розкладу. Зокрема, він отримав

Ейлер не привів докази, що ці дроби так само тривають, проте він знав, що якби такий доказ було, то воно доводило б ірраціональність. Дійсно, якби безперервна дріб для, тривала так само, як в наведеному зразку, 6,10,14,18,22,26, (кожен раз додаємо по 4), то вона ніколи б не перервалася, і (а значить, і ) не могло б бути раціональним. Очевидно, це перша спроба довести ірраціональність.

Першим, хто обчислив досить велике число десяткових знаків числа, був Шенкс (Shanks) в 1854 р Глейшер (Glaisher) показав, що перші 137 знаків, обчислені Шенксом, були вірними, однак далі знайшов помилку. Шенкс її виправив, і було отримано 205 десяткових знаків числа. Насправді, потрібно близько
120 членів розкладання (1), щоб отримати 200 вірних знаків числа.

У 1864 р Бенджамен Пірс (Peirce) стояв біля дошки, на якій було написано

У своїх лекціях він міг би сказати своїм студентам: "Джентльмени, ми не маємо ні найменшого уявлення, що б це значило, але ми можемо бути впевнені, що це означає щось дуже важливе".

Більшість вважає, що Ейлер довів ірраціональність числа. Однак це зробив Ерміт (Hermite) в 1873 р До сих пір залишається відкритим питання, чи є число алгебраїчним. Останній результат в цьому напрямку - це те, що принаймні одне з чисел і є трансцендентним.

Далі вираховували наступні десяткові знаки числа. У 1884 р Бурман (Boorman) обчислив 346 знаків числа, з яких перші 187 збіглися зі знаками Шенкса, але наступні розрізнялися. У 1887 р Адамс (Adams) обчислив 272 цифри десяткового логарифма.