Через координати співмножників

Нехай в евклідовому n вимірному просторі заданий деякий базис. Розкладемо вектори за базисом:

де координатні вектор-стовпці векторів в базисі ().

Висловимо скалярний добуток векторів через координати співмножників:

де позначено. Остання рівність можна переписати в матричній формі

Визначення 3.4. Матриця (3.6) порядку називається матрицею Грама системи векторів базису.

Зауваження 3.3. Матриця Грама може бути побудована, взагалі кажучи, для будь-якої довільної системи векторів евклідового простору. В цьому випадку ми отримуємо матрицю -го порядку:

Сформулюємо найпростіші властивості матриці Грама.

Теорема 3.3. Матриця Грама є симетричної ().

# 9633; Справедливість твердження випливає з аксіоми евклідового простору:. # 9632;

Теорема 3.4 (критерій Грама лінійної залежності системи векторів). Система векторів є лінійно залежною тоді і тільки тоді, коли визначник матриці Грама цієї системи дорівнює нулю.

# 9633; Необхідність. Нехай система векторів є лінійно залежною. Тоді існують числа. серед яких існує принаймні одне нульове такі, що

Помноживши послідовно останню рівність скалярно на вектори. отримаємо однорідну систему, що складається з рівнянь:

Визначником цієї системи є визначник матриці Грама системи векторів. Так як ця система має ненульовий розв'язок

то визначник матриці Грама цієї системи дорівнює нулю.

Достатність доводиться, проводячи міркування в зворотному порядку. # 9632;

Теорема 3.5 (зміна матриці Грама при переході до іншого базису). Нехай в евклідовому просторі задані базиси

Зв'язок між матрицями Грама і для цих базисів описується рівністю

де матриця переходу від базису до базису.

Доказ теореми побудовано на використанні рівності (3.5) і формул перетворення координат при переході від базису до базису.

Приклад 3.1. У лінійному просторі зі скалярним твором задані базиси і:

Записати матриці Грама і для базисів і. перевірити здійсненність рівності (3.8).

Рішення. Складемо матриці Грама і для базисів і. обчислимо елементи

цих матриць. маємо

В результаті отримаємо матриці

Неважко переконатися в справедливості рівності (3.8), яке в нашому випадку має вигляд. де