Чаво за матрицями і кватернионами (2 стор

Що таке одинична матриця?

Одинична матриця - матриця, що має рівне число рядків і стовпців. І все елементи з індексами i = j рівні 1, інші рівні 0.

Наприклад, одинична матриця 4х4:

Що таке головна діагональ матриці?

Головна діагональ матриці - це набір елементів, у яких номер ряду дорівнює номеру колонки, інакше кажучи:

Так що у одиничної матриці, лише елементи головною діагоналі рівні 1, а всі інші 0.

Що таке транспонування матриці?

Транспонована матриця це матриця, в якій поміняли всі елементи матриці щодо головної діагоналі.

Це можна виразити математичною операцією виду:

Однак таке можна зробити лише з матрицею з рівним числом рядків і стовпців.

Якщо матриця M дорівнює:

Якщо є матриця повороту, то транспонування гарантує, що у матриці є зворотна.

Як мені скласти дві матриці?

Правило складання двох матриць: «додай рядок і колонку до рядка і колонці».

Математично це виглядає так:

При цьому матриці повинні бути одного розміру.

Наприклад, якщо матриця 3x3 M складається з матрицею 3x3 L результат буде таким:
.

Як мені відняти дві матриці?

Правило віднімання двох матриць: «віднімається рядок і колонку з рядка і колонки».

Математично буде так:

Матриці повинні бути строго одного розміру.

Наприклад, якщо матриця 3x3 L віднімається з матриці 3x3 M результат буде таким:
.

Як мені помножити дві матриці?

Правило таке: «множ рядок на колонку і сума буде результатом.»

Якщо є дві матриці:
і

то величини B і C повинні бути рівні.

Так що, можна помножити матрицю 4xN з матрицею 4x4, але не навпаки.

Наприклад, якщо матриця 4x4 M описана так:

і матриця 4x2 L описана так:

то розмір результату буде 2x4:

Як мені взяти корінь або звести матрицю в квадрат?

З матриці можна взяти корінь або звести в цілу ступінь. Однак є кілька обмежень. Для будь-якого зведення матриця повинна бути квадратна, інакше кажучи, кількість стовпців должо дорівнювати кількості рядків.

Наприклад,
- зворотна матриця,

- матриця не змінюється,

- зводить у квадрат,

Зведення матриці в ступінь більше одного означає помножити матрицю на себе n-число раз.

Піднесення до степеня одиничної матриці завжди дає одиничну матрицю:

Як мені помножити один і більше векторів на матрицю?

Кращий спосіб виконати це завдання представити список векторів у вигляді однієї матриці, де кожен вектор представлений однією колонкою.

Якщо N векторів повинні бути помножені на матрицю 4х4, вони можуть бути виражені
у вигляді однієї матриці 4хN:

Зауважте, що вся додаткова четверта рядок дорівнює константі 1. Вона не має ніякого значення, використовується, щоб порядок матриці M збігався з порядком списку V.

Множення проводиться так:

На кожен вектор в списку доводиться в загальному 12 умножений, 16 складань і 1 розподіл для перспективи.

Якщо відомо, що це матриця повороту або перенесення, то можна не ділити.