Центральна симетрія є рухом, що змінює напрямок на протилежне

Доведення. Нехай при центральній симетрії з центром в точці О точки X і Y відобразилися на X 'і Y'. Тоді, як зрозуміло з визначення центральної симетрії (рис.4),

XY = OY - OX, X'Y '= OY' - OX '.

Звідси виходить, що центральна симетрія є рухом, що змінює напрямок на протилежне і навпаки, рух, що змінює напрямок на протилежне, тобто центральна симетрія.

Центральна симетрія фігури задається вказівкою однієї пари існуючих точок: якщо точка А відображається на А ', то центр симетрії - це середина відрізка AA'.

6. Дзеркальна симетрія (відображення в площині).

Визначення 1. ТочкіAіA 'називаються симетричними відносно плоскостіa, якщо отрезокAA' перпендикулярний цій площині і ділиться нею навпіл. Будь-яка точка плоскостіaсчітается симетричною самій собі щодо цієї площини (рис.5).

Дві фігури F і F 'називаються симетричними щодо даної площини, якщо вони складаються з точок, попарно симетричних відносно цієї площини, тобто якщо для кожної точки однієї фігури є симетрична їй точка в іншій фігурі.

Якщо перетворення симетрії відносно площини переводить фігуру в себе, то фігура називається симетричною відносно плоскостіa, а площину a - площиною симетрії.

Визначення 2. Відображення фігури, при якому кожній її точці відповідає точка, симетрична їй щодо даної площини, називається відображенням фігури в цій площині (або дзеркальною симетрією).

Теорема 1. Відображення в площині зберігає відстані і, отже, є рухом.

Див. Доказ 1.

Теорема 2. Рух, при якому всі точки деякої площини нерухомі, є відображенням у цій площині або тотожним відображенням.

Дзеркальна симетрія задається вказівкою однієї пари відповідних точок, які не лежать в площині симетрії: площина симетрії проходить через середину відрізка, що з'єднує ці точки, перпендикулярно до нього.

7. Поворот навколо прямої.

Для більш чіткого уявлення про поворот навколо прямої слід згадати поворот на площині близько даної точки. Поворотом на площині близько даної точки називається такий рух, при якому кожен промінь, що виходить з даної точки, повертається на один і той же кут в одному і тому ж напрямку (рис.6). Перейдемо тепер до повороту в просторі.

Визначення. Поворотом фігури навколо прямойaна уголjназивается таке відображення, при якому в кожній площині, перпендикулярній прямойa, відбувається поворот навколо точки її перетину з прямойaна один і той же уголjв одному і тому ж напрямку (рис. 7). Прямаяaназивается віссю повороту, а уголj- кутом повороту.

Звідси бачимо, що поворот завжди задається віссю, кутом і напрямком повороту.

Теорема 1. Поворот навколо прямої зберігає відстані, тобто є рухом.

Див. Доказ 2.

Теорема 2. Якщо рух простору має безліччю своїх нерухомих точок пряму, то воно є поворотом навколо цієї прямої.

7.1. Тіла обертання.

Фігура називається фігурою обертання, якщо існує така пряма, будь-який поворот навколо якої поєднує фігуру саму з собою, іншими словами, відображає її саму на себе. Така пряма називається віссю обертання фігури. Найпростіші тіла обертання. куля, прямий круговий циліндр, прямий круговий конус.

7.2. Осьова симетрія.

Частнимслучаем повороту навколо прямої є поворот на 180 °. При повороті навколо прямої a на 180 ° кожна точка A переходить в таку точку A ', що пряма a перпендикулярна відрізку AA' і перетинає його в середині. Про такі точки A і A 'говорять, що вони симетричні відносно осі a. Тому поворот на 180 ° навколо прямої є називається осьової симетрією в просторі.

8.1. Нерухомі точки рухів простору.

Важливою характеристикою руху простору є безліч його нерухомих точок. Тут можуть представитися лише наступні п'ять випадків:

1. У руху нерухомих точок немає (нетотожні паралельний перенос).

2. Рух має лише одну нерухому точку (центральна симетрія).

3. Безліч нерухомих точок руху простору є прямий (поворот навколо прямої).

4. Безліч нерухомих точок руху простору є площиною (дзеркальна симетрія).

5. Безліч нерухомих точок руху простору є всім простором (тотожне рух).

Дана класифікація дуже зручна, тому що являє всі види руху як єдину систему.

8.2. Основні теореми про завдання рухів простору.

Теорема 1. Нехай в просторі дані два рівних треугольнікаABCіA'B'C '. Тоді існують два і тільки два таких руху простору, які переводятAвA ', BвB', СВС '. Кожне з цих рухів виходить з іншого за допомогою композиції його з відображенням в плоскостіA'B'C '.

9. Два роду рухів.

Слід також знати, що всі рухи поділяються на два роду в залежності від того, безперервні вони чи ні. Для кращого розуміння сутності цього поділу введу поняття базису і його орієнтації.

9.1. Базиси і їх орієнтація.

Базисом в просторі називається будь-яка трійка векторів, непаралельних одночасно ніякої площині.

Трійка базисних векторів називається правої (лівої), якщо ці вектори, відкладені від однієї точки, розташовуються так, як розташовані відповідно великий, вказівний і середній пальці правої (лівої) руки.

Якщо є дві праві (ліві) трійки векторів, кажуть, що ці трійки орієнтовані однаково. Якщо одна трійка є правою, а друга - лівої, то вони орієнтовані протилежно.

9.2. Два роду руху.

Рухи першого роду - такі рухи, які зберігають орієнтацію базисів якоїсь фігури. Вони можуть бути реалізовані безперервними рухами.

Рухи другого роду - такі рухи, які змінюють орієнтацію базисів на протилежну. Вони не можуть бути реалізовані безперервними рухами.