Базисний мінор матриці 1

Розглянемо прямокутну матрицю Am'n = (13.1)

Виділимо в ній s довільних рядків і s довільних стовпців.

Визначення. Мінором s-го порядку матриці (13.1) називається визначник s-го порядку, складений з елементів вихідної матриці, що знаходяться на перетині будь - яких обраних s рядків і s стовпців. Позначення: Ms.

Очевидно, що миноров s-го порядку може бути кілька. При цьому максимальний порядок миноров дорівнює min (m, n): max s = min (m, n). З усіх можливих миноров матриці Am'n виділимо ті, які не рівні 0.

Визначення. Рангом матриці називається найвищий порядок її мінорів, відмінних від нуля. Позначення: r (А)

Дуже важливою властивістю елементарних перетворень матриць є те, що вони не змінюють ранг матриці.

Визначення. Матриці, отримані в результаті елементарного перетворення, називаються еквівалентними.

Зауваження: рівні матриці і евівалентние матриці - поняття абсолютно різні.

Теорема.Наібольшее число лінійно незалежних стовпців в матриці дорівнює числу лінійно незалежних рядків.

Оскільки елементарні перетворення не змінюють ранг матриці, то можна істотно спростити процес знаходження рангу матриці.

Приклади. Визначити ранг матриці.

2) А =. Очевидно, що a12 = 3¹0 = M1. всі мінори М2 = 0, отже, r (A) = 1.

. Отже, r (A) = 2.

Визначення. Всякий ненульовий мінор матриці А, порядок якого дорівнює рангу матриці називається базисним мінор.

В останньому 4-м прикладі - базисні, тому що ¹0 і s = r (A) = 2. Мінор = 0 не є базисним.

Стовпці і рядки матриці, на яких стоїть базисний мінор, також називаються базисними.

У матриці може бути кілька різних базисних мінорів, що мають однаковий порядок.

В курсі алгебри важливу роль відіграє теорема про базисному мінорі, яку ми наведемо без доведення:

Теорема про базисному мінорі.

Теорема.В довільної матриці А кожен стовпець (рядок) є лінійною комбінацією її базисних стовпців (рядків).

Таким чином, ранг довільної матриці А дорівнює максимальному числу лінійно незалежних рядків (стовпців) в матриці.

Якщо А- квадратна матриця і D (A) = 0, то принаймні один з стовпців - лінійна комбінація інших стовпців. Те ж саме справедливо і для рядків. Дане твердження випливає з властивості лінійної залежності при визначнику що дорівнює нулю.

ГЛАВА 3. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ.

Основні поняття і визначення.

Система m лінійних рівнянь з n невідомими має вигляд:

де aij. bi - довільні числа, звані відповідно коефіцієнтами і вільними членами рівнянь.

У більш короткої записи за допомогою знаків підсумовування систему можна записати у вигляді:

Рішенням системи є n чисел (х1 = a1, х2 = a2 ... хn = an). при підстановці яких в систему кожне її рівняння звертається в тотожність.

Визначення. Якщо система має хоча б одне рішення, то вона називається спільної. Якщо система не має жодного рішення, то вона називається несумісною.

Визначення. Система називається визначеною. якщо вона має тільки одне рішення і невизначеною. якщо більше одного.

Визначення. Для системи лінійних рівнянь матриця

А = називається матрицею системи, а матриця

А * = називається розширеною матрицею системи.

Дві системи рівнянь називаються рівносильними (еквівалентними), якщо вони мають один і той же безліч рішень. За допомогою елементарних перетворень системи рівнянь, розглянутих в гл.2 стосовно матрицями (наприклад, множення обох частин рівнянь на числа, не рівні нулю; складання рівнянь системи), виходить система, рівносильна даній.

Систему (1.1) можна записати в матричній формі:

А =. Х =. В =. де А - матриця коефіцієнтів при змінних (матриця системи); Х - матриця-стовпець змінних; В- матриця-стовпець вільних членів. Тоді систему (1.1) можна записати у вигляді: АХ = В.