Алгоритми генерації магічних квадратів - дипломна робота, сторінка 2

МК є потужним символьним аттракторів магічних сил. Якщо при інвокаціі духу Юпітера додачу до фіолетової мантії, оливкової гілки, ароматів кедра і шафрану використовувати талісман 4-го або 21-го порядку, ефективність збільшиться. Стверджується також, що складається в ході операції квадрат, діє сильніше, ніж складений заздалегідь.

Оскільки в давньоєврейською мовою числа записувалися буквами (це і є причина зародження чисельних методів Каббали), магічні квадрати ставали літерними і використовувалися для отримання сігілл духів. Букви імені духу з'єднувалися, утворюючи спеціальний знак, який так само виконував функцію аттрактора по відношенню до духу. У разі якщо буква імені мала більше значення, ніж числа розташовані в квадраті, вона замінювалося на букву в 10 разів меншу за гематріческому значенням. Наприклад, буква Рейш має числове значення 200, воно може бути скорочено до 20, що складе букву Каф, якщо ж в МК немає і такого числа, то воно може бути скорочено ще в десять разів, що складе число 2, букву Бет.

Цитуючи А.Санарова, розглянемо приклад. Створимо символ імені Міхаель, ангела сонця, в МК сонця. Квадрат складається з чисел від 1 до 36, а заголовна буква Мем має числове значення рівне 40, тому 40 скорочуємо до 4, по відношенню до решти буквах імені числові еквіваленти в квадраті є

Існує величезна безліч різних МК одного і того ж порядку. У вже згадуваній роботі Френікля наведені 880 різних квадратів 4-го порядку. У разі, якщо вам потрібно вибрати один з декількох, як вчинити? Давайте навчимося будувати лімб, портрет МК. [8]

Розглянемо квадрат 3-го порядку:

Розташувавши 9 точок по колу, пронумерувавши їх і провівши лінії з 1 в 4, з 2 в 9 і т.д. ми отримаємо лімб даного квадрата:

У роботах меркуріанським плану (8 - число Меркурія), пов'язаних з інформацією, знанням, комунікаціями і т.п. слід віддати перевагу перший квадрат. У роботах юпітеріанскую плану (4 - число Юпітера), які залучаються до планування, благодійністю, фінансами і т.п. слід віддати перевагу другий квадрат.

Але в будь-якому випадку, його порядок - 3, тому основна спрямованість - Сатурн.

Ось ще одна варіація ідеї магічного квадрата, магічна площину 4-го порядку:

Переміщаючи по ній контур 4х4, всередині нього ми завжди отримаємо магічний квадрат 4-го порядку. [4]

Магічним квадратом (МК) порядку n називається числова таблиця розміром клітин, заповнена натуральними числами від 1 до n2, які розміщені таким чином, що суми чисел будь-якого стовпця, рядка або головних діагоналей (див. Нижче) мають одне і те ж значення. Це значення називається константою квадрата і одно S = n (n2 + 1) / 2. Дві діагоналі, що проходять через центр квадрата, називаються головними діагоналями.

Приклад 1. МК 3-го порядку з 9-ти перших натуральних чисел (відомий в Китаї як талісман ло-шу) представляєтьсянаступної матрицею 3x3:

Це перший магічний квадрат, що відноситься до різновиду так званих диявольських квадратів.

Магічний квадрат Ян Хуея (Китай)

У 13 ст. математик Ян Хуей зайнявся проблемою методів побудови магічних квадратів. Його дослідження були потім продовжені іншими китайськими математиками. Ян Хуей розглядав магічні квадрати не тільки третього, але і високих порядків. Деякі з його квадратів були досить складні, проте він завжди давав правила для їх побудови. Він зумів побудувати магічний квадрат шостого порядку, причому останній виявився майже асоціативним (в ньому тільки дві пари центрально протилежних чисел не дають суму 37) [2]

1.3 Квадрати європейського походження

Квадрат Альбрехта Дюрера

Фрагмент гравюри Дюрера «Меланхолія»

Магічний квадрат 4 × 4, зображений на гравюрі Альбрехта Дюрера «Меланхолія I», вважається найбільш раннім в європейському мистецтві. Два середніх числа в нижньому ряду вказують дату створення картини (1514).

Сума чисел на будь-який горизонталі, вертикалі і діагоналі дорівнює 34. Ця сума також зустрічається у всіх кутових квадратах 2 × 2, в центральному квадраті (10 + 11 + 6 + 7), в квадраті з кутових клітин (16 + 13 + 4 + 1 ), в квадратах, побудованих «ходом коня» (2 + 8 + 9 + 15 і 3 + 5 + 12 + 14), в прямокутниках, утворених парами середніх клітин на протилежних сторонах (3 + 2 + 15 + 14 і 5 + 8 + 9 + 12). Більшість додаткових симетрій пов'язано з тим, що сума будь-яких двох центрально симетрично розташованих чисел дорівнює 17.

Квадрати Генрі Е. Дьюдени і Аллана У. Джонсона-мл.

Якщо в квадратну матрицю n × n заноситься не строго натуральний ряд чисел, то даний магічний квадрат - нетрадиційний. Нижче представлені два таких магічних квадрата, заповнені в основному простим числами. Перший має порядок n = 3 (квадрат Дьюдени); другий (розміром 4x4) - квадрат Джонсона. Обидва вони були розроблені на початку двадцятого століття

Є ще кілька подібних прикладів:

Останній квадрат примітний тим, що він складений з 143 послідовних простих чисел за винятком двох моментів: залучена одиниця, яка не є простим числом, і не використано єдине парне просте число 2.

1.4 Диявольський магічний квадрат

Диявольський магічний квадрат - магічний квадрат, в якому також з магічною константою збігаються суми чисел по ламаним діагоналях (діагоналі, які утворюються при згортанні квадрата в тор) в обох напрямках.

Такі квадрати називаються ще пандіагональнимі.Существует 48 диявольських магічних квадратів 4 × 4 з точністю до поворотів і відображень. Якщо взяти до уваги ще й їх додаткову симетрію - торичні паралельні переноси, то залишиться тільки 3 істотно різних квадрата:

Однак було доведено, що з останнього третього варіанту найпростішими перестановками чисел виходять перші два квадрата. Тобто третій варіант - це базовий диявольський квадрат, з якого різними перетвореннями можна побудувати всі інші.

Пандіагональних квадрати існують для непарного порядку n> 3, для будь-якого порядку подвійний парності n = 4k (k = 1,2,3 ...) і не існують для порядку одинарної парності n = 4k + 2 ().

Пандіагональних квадрати четвертого порядку мають ряд додаткових властивостей, за які їх називають досконалими. Скоєних квадратів непарного порядку не існує. Серед пандіагональних квадратів подвійний парності вище 4 є досконалі. [2]

Пандіагональних квадратів п'ятого порядку 3600. З урахуванням торических паралельних переносів є 144 різних пандіагональних квадратів. Один з них показаний нижче.

Розламані діагоналі пандіагональних квадрата

Якщо пандіагональних квадрат ще й асоціативний, то він носить назву ідеальний. Приклад ідеального магічного квадрата: