Algebra2 funmatrix vf
Введення поняття норми дозволяє спростити міркування про збіжність матричної послідовності. У попередніх пунктах ця збіжність розумілася в сенсі існування меж у послідовностей елементів одночасно для всіх індексів і. Норма дозволяє об'єднати дослідження цих послідовностей на збіжність в вивчення однієї.
Теорема.Последовательностьсходітся прик матріцетогда і тільки тоді, коли
називається збіжним якщо існує кінцева межа послідовності
його часткових сум. Тоді величина цієї межі називається сумою матричного ряду.
Матричний ряд називається розбіжним якщо хоча б для однієї пари індексів і послідовність розходиться. Матричний ряд називається абсолютно збіжним якщо сходиться числовий ряд його норм:.
Складнощі виникають при визначенні. Формально, коренем квадратним з матриці називається рішення матричного рівняння
Уже для матриць другого порядку це рівняння не завжди вирішується: наприклад, не існує рішення при
З іншого боку, при
існує безліч рішень
задається двома параметрами і.
а) завжди існує при;
б) завжди існує серед речових симетричних матриць, якщо - симетрична і позитивно полуопределенная.
Доказ проведемо тільки для б). Симетрична матриця приводиться до діагонального вигляду за допомогою ортогональної матриці.
Легко бачити, що матриця
є рішенням рівняння. Тут під розуміється довільне значення квадратного кореня. Це значення буде речовим прі. Якщо матриця позитивно полуопределена, то все невід'ємні. Таким чином, остання формула визначає речовий рішення; матриця буде симетричною і може бути обрана позитивно полуопределенной. ♦
Рішення .. Оскільки матриця симетрична, то привести її до діагонального вигляду можна за допомогою ортогональної матриці. Ми, однак же, використовуємо загальний алгоритм диагонализации з \ S 5 глави 3 щоб отримати якомога більшу кількість відповідей:
