3 2 Обчислення суми нескінченної низки

3. Програми циклічної структури

Обчислення суми нескінченної низки із заданою точністю

Нехай задана послідовність чисел R1. R2. R3, ..., Rn, .... Вираз R1 + R2 + R3 + ... + Rn + ... називаютбесконечним поруч. або просторядом. а числа R1. R2. R3, ...-членами ряду. При цьому мають на увазі, що накопичення суми ряду починається з перших його членів. Сума Sn =

називаетсячастічной суммойряда. при n = 1 - першої часткової сумою, при n = 2 - другий часткової сумою і так далі.

Називається ряд збіжним. якщо послідовність його часткових сум має межу, ірасходящімся - в іншому випадку. Поняття суми ряду можна розширити [9], і тоді деякі розходяться ряди також будуть володіти сумами. Іменнорасшіренноепоніманіесуммиряда буде використано при розробці алгоритмів при наступній постановці завдання: накопичення суми слід виконувати до тих пір, поки черговий член ряду по абсолютній величині більше заданої величини ε.

У загальному випадку всі або частину членів ряду можуть бути задані виразами, залежними від номера члена ряду і змінних. наприклад,

Тоді виникає питання, як мінімізувати обсяг обчислень - обчислювати значення чергового члена ряду за загальною формулою члена ряду (в наведеному прикладі її представляє вираз під знаком суми), по рекуррентной формулою (її висновок представлений нижче) або використовувати рекурентні формули лише для частин висловлювання члена ряду (див. нижче).

Висновок рекуррентной формули для обчислення члена ряду

Нехай потрібно знайти ряд чисел R1. R2. R3, ..., послідовно обчислюючи їх за формулами

,, ...,

Для скорочення обчислень в даному випадку зручно скористатися рекуррентнойформулой виду, що дозволяє обчислити значення RN при N> 1, знаючи значення попереднього члена ряду RN-1. де

- вираз, яке можна отримати після спрощення відносини вираження у формулі (3.1) для N до вираження для N-1:

Таким чином, рекуррентная формула набуде вигляду.

З порівняння загальної формули члена ряду (3.1) і рекуррентной (3.2) видно, що рекуррентная формула значно спрощує обчислення. Застосуємо її для N = 2, 3 і 4 знаючи, що

:

Способи обчислення значення члена ряду

Для обчислення значення члена ряду, в залежності від його виду, може виявитися кращим використання або загальної формули члена ряду, або рекуррентной формули, або змішаного способу обчислення значення члена ряду. коли для однієї або декількох частин члена ряду використовуються рекурентні формули, і потім їх значення підставляються в загальну формулу члена ряду. Наприклад, - для рядапроще обчислювати значення члена ряду

по його загальній формулі(Порівняйте з- рекуррентной формулою); - для рядалучше скористатися рекуррентной формулою; - для рядаследует застосувати змішаний спосіб, обчислюючи AN = X 3N по рекуррентной формулою , N = 2, 3, ... при A1 = 1 і BN = N! - також по рекуррентной формулою , N = 2, 3, ... при B1 = 1, а потім - член ряду- за загальною формулою, яка набуде вигляду.

Приклад 3.2.1 виконання завдання

Обчислити з точністю ε для 0 o X45 o

наближене значення функції cos X за формулою:

використовуючи рекуррентную формулу для обчислення члена ряду:

,

точне значення функції cos X,

абсолютну і відносну помилки наближеного значення.