02 Лінійна залежність і незалежність системи векторів

Визначення лінійно залежною і незалежною систем векторів

Нехай маємо систему з n-векторів

і маємо набір чисел, тоді

називається лінійною комбінацією даної системи векторів з даними набором коефіцієнтів.

Визначення 23 (через нульову лінійну комбінацію)

система векторів

називаетсялінейно залежною, якщо існує такий набір коефіцієнтів, з яких хоча б один не дорівнює нулю, що лінійна комбінація даної системи векторів з цим набором коефіцієнтів дорівнює нульовому вектору:

Визначення 24 (через подання одного вектора системи у вигляді лінійної комбінації інших)

система векторів

називаетсялінейно залежною, якщо хоча б один з векторів цієї системи можна представити у вигляді лінійної комбінації інших векторів цієї системи.

Визначення 23 і 24 еквівалентні.

Визначення 25 (через нульову лінійну комбінацію)

система векторів

називаетсялінейно незалежної, якщо нульова лінійна комбінація цієї системи можлива лише при всіхрівних нулю.

Визначення 26 (через неможливість подання одного вектора системи у вигляді лінійної комбінації інших)

система векторів

називаетсялінейно незалежної, якщо не один з векторів цієї системи не можна представити у вигляді лінійної комбінації інших векторів цієї системи.

Властивості лінійно залежною і незалежною систем векторів

Теорема2 (нульовий вектор в системі векторів)

Якщо в системі векторів є нульовий вектор, то система лінійно залежна.

Отримаємо, отже, за визначенням лінійно залежною системи векторів через нульову лінійну комбінацію (12) система лінійно завісіма.

Теорема3 (залежна підсистема в системі векторів)

Якщо в системі векторів є лінійно залежна підсистема, то і вся система лінійно залежна.

 Нехай

- лінійно залежна підсистема, серед яких хоча б одне не дорівнює нулю:

Значить, за визначенням 23, система лінійно залежна. 

Будь-яка підсистема лінійно незалежної системи лінійно незалежна.

 Від противного. Нехай система лінійно незалежна і в ній є лінійно залежна підсистема. Але тоді за теоремою 3 вся система буде також лінійно залежною. Протиріччя. Отже, підсистема лінійно незалежної системи не може бути лінійно завісімой.

Геометричний сенс лінійної залежності і незалежності системи векторів

два вектора

ілінійно залежні тоді і тільки тоді, коли.

і- лінійно залежні, що виконується умова. тоді, т.е ..

Нульовий вектор коллінеарен будь-якому вектору

Для того щоб два вектори були лінійно незалежні необхідно і достатньо, щоб

не була коллінеарен.

Для того щоб система з трьох векторів була лінійно залежна необхідно і достатньо, щоб ці вектори були компланарними.

- лінійно залежні, отже, один вектор можна представити у вигляді лінійної комбінації двох інших.

де

і. За правилом паралелограмає діагональ паралелограма зі сторонами, але паралелограм - плоска фігуракомпланарність- теж компланарність.

- компланарність. Докладемо три вектора до точки В:

Нульовий вектор компланарен будь-якій парі векторів.

Для того щоб вектори

були лінійно незалежні необхідно і досить, щоб вони були не компланарність.

Будь-вектор площини можна представити у вигляді лінійної комбінації будь-яких двох неколінеарних векторів цій же площині.

Будь-які чотири вектори в просторі лінійно залежні.

 Розглянемо 4 випадки:

Якщо серед векторів є нульовий вектор. Тоді система лінійно залежна по теоремі 2.

Якщо серед векторів є хоча б 1 пара колінеарних векторів. Тоді система лінійно залежна по теорем 5 і 3.

Якщо серед векторів є компланарності трійка векторів. Тоді система лінійно залежна по теорем 6 і 3.

Якщо серед векторів немає нульових векторів, колінеарних пар і компланарних трійок. Докладемо ці 4 вектора до точкеО.

. Проведемо площину через вектори. потім площину через вектори і площину через вектори. Потім проведемо площини, що проходять через точкуD, паралельні парам векторів; ; відповідно. По лініях перетину площин будуємо параллелепіпедOB1D1C1ABDC.

Розглянемо OB1D1C1 - паралелограм з побудови за правилом паралелограма.

Розглянемо OADD1 - паралелограм (з властивості паралелепіпеда), тоді

По теоремі 1

такі, що. Тоді, і по визначенню 24 система векторів лінійно залежна. 

Сумою трьох некомпланарних векторів в просторі є вектор, що збігається з діагоналлю паралелепіпеда, побудованого на цих трьох векторах, прикладених до загального початку, причому початок вектора суми збігається із загальним початком цих трьох векторів.

Якщо в просторі взяти 3 некомпланарних вектора, то будь-який вектор цього простору можна розкласти в лінійну комбінацію даних трьох векторів.