Зв’язок відносної похибки наближеного числа з кількістю вірних знаків - студопедія

Теорема (без доведення). Якщо позитивне наближене число а має п вірних десяткових знаків, то відносна похибка цього числа не перевищує величину. поділену на першу значущу цифру даного числа, тобто

де - перша значуща цифра числа а.

За граничну відносну похибку числа a можна прийняти

Якщо число а має більше двох вірних знаків, тобто п ≥ 2, то практично справедлива формула

Приклад. Яка буде гранична відносна похибка, якщо замість числа π використовувати а = 3,14?

Рішення. У нашому випадку і п = 3, тому

Для розв'язання оберненої задачі визначення кількості вірних знаків числа а. якщо відома його відносна похибка, зазвичай користуються наближеною формулою

де - абсолютна похибка числа а (а> 0). Звідси

то число а має п вірних знаків, що випливає з формули (1.6)

Приклад. Наближене число а = 24253 має відносну точність 1%. Скільки в ньому вірних знаків?

Рішення. Виходячи з абсолютної похибки, яка визначається формулою (1.9), запишемо

# 916; = 24253 # 8729; 0,01 ≈ 243 = 2,43 # 8729; 10 2.

У заданому числі а = 24253 першої значущої цифри 2 відповідає m = 4. Тому можемо записати

З останнього нерівності слід, що воно може виконуватися лише при n = 2. Отже, в числі а будуть вірними лише перші дві цифри.

1.5. Похибка суми і різниці наближених чисел

Гранична абсолютна похибка алгебраїчної суми декількох наближених чисел дорівнює сумі граничних абсолютних похибок цих чисел.

Округляючи до одного знака після коми і враховуючи похибку округлення, отримаємо і = 7,8 ± 0,015, тобто в запису і = 7,8 все цифри вірні.

Приклад 3. Необхідно скласти два наближених числа 265 і 32. Нехай гранична похибка першого числа дорівнює 5, а другого - 1. Тоді гранична похибка суми дорівнює 6. Так, якщо справжнє значення першого числа є 270, а другого 33, то наближена сума буде 265 + 32 + 297, тобто вона на 6 одиниць менше істинної 270 + 33 = 303.

Приклад 4. Знайти суму наближених чисел

0,0909 + 0,0833 + 0,0769 + 0,0714 + 0,0667 + 0,0625 + 0,0588 +0,0556 + 0,0526.

Результатом складання є число 0,6187. Оскільки гранична похибка кожного доданка є 0,00005, то гранична похибка суми буде 0,00005 9 = 0,00045. Значить, в останньому (четвертому) знаку суми можлива помилка до 5 одиниць. Тому округляем суму до третього знака, тобто до тисячних. В результаті отримуємо число 0,619, в якому все три цифри є вірними.

При значному числі доданків зазвичай відбувається взаємна компенсація похибок. Тому справжня похибка суми лише у виняткових випадках збігається з граничною похибкою або близька до неї. Інакше кажучи, при значному числі підсумовування наближених чисел їх сума, як правило, набагато точніше доданків. Це відбувається завдяки взаємній компенсації похибок сумміруемих чисел.

Тепер розглянемо похибка різниці двох наближених чисел.

Виходячи з поняття абсолютної величини будь-якого числа, неважко зробити висновок, що гранична абсолютна похибка різниці наближених чисел також як і для суми двох наближених чисел, дорівнює сумі граничних абсолютних похибок зменшуваного і від'ємника.

Приклад 5. Нехай гранична похибка наближеного зменшуваного 85 дорівнює 2, а середня помилка від'ємника 32 дорівнює 3. Гранична похибка різниці 85 - 32 = 53 є 2 + 3 = 5. Дійсно, істинні значення зменшуваного і від'ємника можуть дорівнювати 85 + 2 = 87 і 32 - 3 = 29. Тоді справжня різниця буде 87 - 29 = 58. Вона на 5 одиниць відрізняється від наближеної різниці, яка дорівнює 53.

Однак треба мати на увазі, що на противагу сумі різниця наближених чисел може бути менш точними, ніж зменшуване і від'ємник окремо взяті. Ефект «втрати точності» особливо великий у тому випадку, коли зменшуване і від'ємник мало відрізняються один від одного.

Приклад 6. Вимірювання зовнішнього і внутрішнього діаметрів тонкостінної трубки дало результати мм, мм. Обчислимо за цими даними товщину стінки трубки. Гранична абсолютна похибка зменшуваного і від'ємника одна і та ж: 0,05. Відносна похибка зменшуваного і від'ємника теж приблизно однакова, а саме:

Товщина стінки трубки мм. Гранична абсолютна похибка числа теж буде 0,05, а відносна похибка вже складе величину