Зразки рішень з задачника кузнецова л

Постановка задачі. Для диференціального рівняння

методом ізоклін побудувати інтегральну криву, що проходить через точку.

Теорема (Коші). Якщо функція неперервна в точці і в її околиці, то існує рішення рівняння (2), таке, що. Якщо неперервна також приватна похідна даної функції, то це рішення єдино.

Завдання Коші для диференціального рівняння першого порядку має наступне формулювання. Знайти рішення (інтеграл) диференціального рівняння (1) або (2), що задовольнить початковому умові (). З геометричної точки зору це означає, що серед інтегральних ліній даного рівняння необхідно знайти ту, яка проходить через задану точку.

Геометрична інтерпретація диференціального рівняння (2) полягає в тому, що воно в кожній точці, що належить області, в якій виконуються всі умови теореми Коші, задає напрям дотичній до єдиної інтегральної лінії рівняння (2), що проходить через точку, тобто поле напрямків в області.

В області для рівняння (2) можна виділити однопараметричне сімейство ліній, кожна з яких називається ізокліни. Як випливає з визначення, уздовж кожної ізокліни поле напрямків постійно, тобто .

Знаходження ізоклін і напрямків вздовж них дозволяє впорядкувати поле напрямків і наближено побудувати інтегральні лінії даного диференціального рівняння, тобто графічно проинтегрировать це рівняння.

Завдання 8. Для даного диференціального рівняння методом ізоклін побудувати інтегральну криву, що проходить через точку.

.

Запишемо рівняння у вигляді:

.

Побудуємо поле напрямків для даного диференціального рівняння. Ізокліни, відповідають напрямам поля з кутовим коефіцієнтом рівним, є або, тобто прямі.

Інтегральна крива має, очевидно, форму еліпса.