Знайти рішення задачі Коші

Asix Адмін. відповів 5 місяців назад

Завдання.
Знайти рішення задачі Коші для диференціального рівняння при початковому умови у (1) = е.

Рішення.
Заданий за умовою диф. рівняння є лінійним. Зробимо в ньому наступну заміну - функцію у замінимо твором двох функцій:
y = uv.
Знайдемо похідну від функції у:
y '= u'v + uv'.
Підставами нові змінні в заданий диф. рівняння:

Загальний множник, який бачимо в лівій частині рівняння, винесемо за дужки:

Складемо таку систему рівнянь:

Знайдемо змінну v з першого рівняння системи. Для цього спочатку перейдемо до рівняння в диференціалах:

Потім проинтегрируем і вирішимо рівняння:

Тепер підставимо знайдене значення функцію в друге рівняння системи і обчислимо функцію u:

Перейдемо до рівняння в диференціалах:

інтегруємо:
/
Внесемо функцію під знак диференціала:

Підставами тепер обидві знайдені функції в загальне рівняння:

Не забуваємо, що С - це довільна постійна, яка на даний момент невідома.
І нарешті, вирішимо завдання Коші за умови, що у (1) = е.
Розрахуємо значення функції від 1 і прирівняємо його до е. Таким чином, ми знайдемо значення невідомої постійної З:

6e + C = e;
C = -5e.
В такому випадку, рішенням задачі Коші буде функція.