Знаходження загального члена ряду по заданих першим членам

Числовий ряд можна поставити по-різному. Найчастіше просто використовують запис виду $ \ sum \ limits_ ^ u_n $. Однак зрідка вказують кілька перших членів ряду, за якими потрібно відновити загальний член ряду. Чесно кажучи, подібні завдання не мають однозначної відповіді, і це буде продемонстровано в прикладі №1. Втім, існують деякі загальні прийоми, які застосовують в стандартних випадках.

Для початку варто запам'ятати кілька послідовностей. Наприклад, квадрати натуральних чисел, тобто послідовність $ u_n = n ^ 2 $. Ось кілька перших членів цієї послідовності:

Як ми отримали ці числа? показати \ приховати

Загальний член послідовності має вигляд $ u_n = n ^ 2 $. Підставляючи $ n = 1 $, отримаємо:

Це і є перший член послідовності. Підставляючи $ n = 2 $ в $ u_n = n ^ 2 $, отримаємо другий член послідовності:

Якщо підставити $ n = 3 $, то отримаємо третій член послідовності:

Точно так же знаходимо четвертий, п'ятий, шостий і інші члени послідовності. Ось так і отримуємо відповідні числа:

Також варто мати на увазі члени послідовності $ u_n = n ^ 3 $. Ось кілька перших її членів:

Крім того, для формування загального члена ряду частенько використовується послідовність $ u_n = n! $, Кілька перших членів якої такі:

Запис "n!" (Читається "ен факторіал") позначає твір всіх натуральних чисел від 1 до n, тобто

$$ n! = 1 \ cdot2 \ cdot 3 \ cdot \ ldots \ cdot n. $$

За визначенням годиться, що $ 0! = 1! = 1 $. Для прикладу знайдемо 5.

$$ 5! = 1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 4 \ cdot 5 = 120. $$

Часто використовуються також арифметична і геометрична прогресії. Якщо перший член арифметичної прогресії дорівнює $ a_1 $, а різниця дорівнює $ d $, то загальний член арифметичної прогресії записується за допомогою такої формули:

Що таке арифметична прогресія? показати \ приховати

Арифметична прогресія - послідовність чисел, в якій різниця між наступним і попереднім членами незмінна. Ця постійна різниця називається різницею прогресії. Для прикладу розглянемо таку послідовність:

Зверніть увагу, що яку б пару сусідніх елементів ми не взяли, різниця між наступним і попереднім членами завжди буде постійною і рівною 7:

\ begin 10-3 = 7; \\ 17-10 = 7; \\ 31-24 = 7; \ Ldots \ end

Це число, тобто 7, і є різниця прогресії. Зазвичай її позначають буквою $ d $, тобто $ D = 7 $. Перший елемент прогресії $ a_1 = 3 $. Загальний член цієї прогресії запишемо за допомогою формули (4). Підставляючи в неї $ a_1 = 3 $ і $ d = 7 $, матимемо:

Для наочності знайдемо за формулою $ a_n = 7n-4 $ декілька перших членів арифметичної прогресії:

\ begin a_1 = 7 \ cdot 1-4 = 3; \\ a_2 = 7 \ cdot 2-4 = 10; \\ a_3 = 7 \ cdot 3-4 = 17; \\ a_4 = 7 \ cdot 4-4 = 24; \\ a_5 = 7 \ cdot 5-4 = 31. \ end

Підставляючи в формулу $ a_n = 7n-4 $ будь-яке значення номера $ n $, можна отримати будь-який член арифметичної прогресії.

Варто також відзначити геометричну прогресію. Якщо перший член прогресії дорівнює $ b_1 $, а знаменник дорівнює $ q $, то загальний член геометричної прогресії задається такою формулою:

Що таке геометрична прогресія? показати \ приховати

Геометрична прогресія - послідовність чисел, в якій відношення між наступним і попереднім членами постійно. Це незмінне відношення називається знаменником прогресії. Для прикладу розглянемо таку послідовність:

$$ 6; \; 18; \; 54; \; 162; \; 486; \; 1 458; \; 4374; \ Ldots $$

Зверніть увагу, що яку б пару сусідніх елементів ми не взяли, ставлення подальшого до попереднього завжди буде постійним і рівним 3:

Це число, тобто 3, і є знаменник прогресії. Зазвичай його позначають буквою $ q $, тобто $ Q = 3 $. Перший елемент прогресії $ b_1 = 6 $. Загальний член цієї прогресії запишемо за допомогою формули (5). Підставляючи в неї $ b_1 = 6 $ і $ q = 3 $, матимемо:

Для наочності знайдемо за формулою $ b_n = 6 \ cdot 3 ^ $ декілька перших членів геометричної прогресії:

\ begin b_1 = 6 \ cdot 3 ^ 0 = 6; \\ b_2 = 6 \ cdot 3 ^ 1 = 18; \\ b_3 = 6 \ cdot 3 ^ 2 = 54; \\ b_4 = 6 \ cdot 3 ^ 3 = 162; \\ b_5 = 6 \ cdot 3 ^ 4 = 486. \ end

Підставляючи в формулу $ b_n = 6 \ cdot 3 ^ $ будь-яке значення номера $ n $, можна отримати будь-який член геометричної прогресії.

У всіх викладених нижче прикладах члени рядів будемо позначати буквами $ u_1 $ (перший член ряду), $ u_2 $ (другий член ряду) і так далі. Запис $ u_n $ означатиме загальний член ряду.

Знайти спільну член ряду $ \ frac + \ frac + \ frac + \ frac + \ ldots $.

Суть таких завдань полягає в тому, щоб помітити закономірність, яка притаманна першим членам ряду. І на підставі цієї закономірності зробити висновок про вид загального члена. Що означає фраза "знайти спільну член"? Вона означає, що необхідно знайти такий вислів, підставляючи в яке $ n = 1 $ отримаємо перший член ряду, тобто $ \ Frac $; підставляючи $ n = 2 $ отримаємо другий член ряду, тобто $ \ Frac $; підставляючи $ n = 3 $ отримаємо третій член ряду, тобто $ \ Frac $ і так далі. Нам відомі перші чотири члени ряду:

Давайте рухатися поступово. Всі відомі нам члени ряду - дроби, тому резонно припустити, що і загальний член ряду теж представлений дробом:

Наше завдання - з'ясувати, що ж ховається під знаками питання в чисельнику і знаменнику. Спочатку звернемося до чисельника. У чисельнику відомих нам членів ряду стоять числа 1, 2, 3 і 4. Зауважте, що номер кожного члена ряду дорівнює чисельнику. У першого члена в чисельнику стоїть одиниця, у другого - двійка, у третього - трійка, у четвертого - четвірка.

Логічно припустити, що у n-го члена в чисельнику буде стояти $ n $:

До речі сказати, до цього висновку ми можемо прийти і іншим шляхом, більш формальним. Що являє собою послідовність 1, 2, 3, 4? Відзначимо, що кожний наступний член цієї послідовності на 1 більше, ніж попередній. Ми маємо справу з чотирма членами арифметичної прогресії, перший член якої $ a_1 = 1 $, а різниця $ d = 1 $. Використовуючи формулу (4). отримаємо вираз загального члена прогресії:

Отже, вгадування або формальний розрахунок - справа смаку. Головне - ми записали чисельник загального члена ряду. Перейдемо до знаменника.

У знаменниках ми маємо послідовність 7, 9, 11, 13. Це чотири члени арифметичної прогресії, перший член якої дорівнює $ b_1 = 7 $, а різниця $ d = 2 $. Загальний член прогресії знайдемо, використовуючи формулу (4):

Отриманий вираз, тобто $ 2n + 5 $, і буде знаменником загального члена ряду. Отже:

Загальний член ряду отримано. Давайте перевіримо, чи підходить знайдена нами формула $ u_n = \ frac $ для обчислення вже відомих членів ряду. Знайдемо члени $ u_1 $, $ u_2 $, $ u_3 $ і $ u_4 $ за формулою $ u_n = \ frac $. Результати, природно, повинні співпасти з заданими нам за умовою першими чотирма членами ряду.

Все вірно, результати збігаються. Заданий в умови ряд можна записати тепер в такій формі: $ \ sum \ limits _ ^ \ frac $. Загальний член ряду має вигляд $ u_n = \ frac $.

Хіба такий ряд не має право на існування? Ще як має. І для цього ряду можна записати, що

Можна записати і інше продовження. Наприклад, таке:

І таке продовження нічому не суперечить. При цьому можна записати, що

Якщо перші два варіанти здалися вам надто формальними, то запропоную третій. Давайте запишемо загальний член в такому вигляді:

Обчислимо перші чотири члени ряду, використовуючи запропоновану формулу загального члена:

Як бачите, запропонована формула загального члена цілком коректна. І таких варіацій можна придумати нескінченно багато, їх кількість нічим не обмежена. У стандартних прикладах, звичайно, використовується стандартний набір якихось відомих послідовностей (прогресії, ступеня, факторіали і т.д.). Однак в таких завданнях завжди присутній невизначеність, і про це бажано пам'ятати.

У всіх наступних прикладах ця неоднозначність обумовлюватися не буде. Вирішувати станемо стандартними способами, які прийняті в більшості задачников.

Відповідь. загальний член ряду: $ u_n = \ frac $.

Нам відомі перші п'ять членів ряду:

Всі відомі нам члени ряду - дроби, значить і загальний член ряду будемо шукати у вигляді дробу:

Відразу звернемо увагу на чисельник. У всіх чисельнику стоять одиниці, тому і в чисельнику загального члена ряду буде одиниця, тобто

Тепер звернемося до знаменника. У знаменниках відомих нам перших членів ряду розташовані твори чисел: $ 1 \ cdot 5 $, $ 3 \ cdot 8 $, $ 5 \ cdot 11 $, $ 7 \ cdot 14 $, $ 9 \ cdot 17 $. Перші з цих чисел такі: 1, 3, 5, 7, 9. Дана послідовність має перший член $ a_1 = 1 $, а кожний наступний виходить з попереднього додатком числа $ d = 2 $. Іншими словами, це перші п'ять членів арифметичної прогресії, загальний член якої можна записати за допомогою формули (4):

У творах $ 1 \ cdot 5 $, $ 3 \ cdot 8 $, $ 5 \ cdot 11 $, $ 7 \ cdot 14 $, $ 9 \ cdot 17 $ другі числа такі: 5, 8, 11, 14, 17. Це елементи арифметичної прогресії, перший член якої $ b_1 = 5 $, а знаменник $ d = 3 $. Загальний член цієї прогресії запишемо за допомогою все тієї ж формули (4):

Зведемо результати воєдино. Твір в знаменнику загального члена ряду таке: $ (2n-1) (3n + 2) $. А сам загальний член ряду має такий вигляд:

Для перевірки отриманого результату знайдемо за формулою $ u_n = \ frac $ ті чотири перших члена ряду, які нам відомі:

Отже, формула $ u_n = \ frac $ дозволяє точно обчислити члени ряду, відомі з умови. При бажанні заданий ряд можна записати так:

Продовжуючи цю тему розглянемо в другій і третій частинах.