Знаходження коренів методом половинного ділення

Задана точність досягається на сьомому кроці.

х7 = 0.8828125 з похибкою d7 = 0,0078125<ε=0.01

Блок - схема рішення рівняння f (x) методом половинного ділення

Дано рівняння f (x) = 0. Нехай знайдений відрізок. такий, що на його кінцях функція f (x) має різні знаки, тобто. Нехай, крім цього, похідні і на відрізку зберігають знак. (Нехай при a0

За наближене значення кореня приймаємо точку перетину з віссю ОХ хорди, що проходить через точки A0 [a0, f (a0)], B0 [b0, f (b0)]

Точка перетину a1 з віссю ОХ знаходиться з (1) при у = 0 (при цьому х = а1):

Беручи а1 за кінець першого відрізка. можна знову провести хорду і вийде наближене значення А2

Можна показати, що процес сходиться і в межі.

нехай # 958; - корінь рівняння f (x) = 0 визначений на відрізку причому і безупинні і зберігають знаки при a

Де hn -мала величина.

За формулою Тейлора, беручи тільки лінійні члени знаходимо:

Так як - «корінь», то

Підставляючи hn в (1), отримуємо нове наближення кореня:

Тому метод Ньютона називають ще методом дотичних.

Якщо в якості початкового наближення вибрати точку а, то отримали б нове наближення, що виходить за інтервал. Отже «хорошим» початковим наближенням x0 є те, для якого виконано нерівність:

Для оцінки точності (похибки) n-го наближення xn можна скористатися наступним співвідношенням:

Тобто «усталене» початкові десяткові знаки наближення xn і xn + 1, є вірними (слід взяти більше двох наступних наближень!)

Обчислити методом Ньютона негативний корінь рівняння:

з п'ятьма вірними знаками.

Вважаючи х = 0, -10, -100, ..., отримаємо f (0) = - 10000, f (-10) = - 1050, f (-100) ≈10 8

Шуканий корінь знаходиться в інтервалі [-100, -10]. Звузимо інтервал, розглядаючи точку х = -11 f (-11) = 3453.

Таким чином -11<ξ<-10

На цьому інтервалі і. Так як . тобто . за початкове наближення вибираємо х0 = -11.

Результати обчислень зводимо в таблицю: