Завдання з параметром, система з модулем

Завдання з параметром - одні з найскладніших у ЄДІ, але зате і найцікавіші. Вирішувати їх - одне задоволення. Всім рекомендую подружитися з параметрами і не боятися складних завдань.

Завдання. При якому значенні параметра система має більше двох рішень?

Розкриємо модуль. Він буде зніматися з позитивним знаком, якщо підмодульних вираз неотрицательно, і з негативним, якщо підмодульних вираз менше 0:

Таким чином, виділивши повний квадрат, отримали дві окружності (вірніше, їх частини). Одна з околиць існує вище прямої. а друга - нижче. Частини наших околиць стикуються в точках з координатами O (0; 0) і C (-2; -4) - це легко перевіряється підстановкою.

Окружності буде перетинати пряма, коефіцієнт нахилу якої постійний, а коефіцієнт - змінюється:

Така пряма буде ковзати по осі вгору-вниз, нас цікавлять випадки, коли ця пряма буде мати більше двох перетинів з «вісімкою» з околиць. Почнемо дослідження з положення прямої такого, коли вона проходить через початок координат.

Це крайня точка, в якій система має три рішення. При більш низькому положенні прямої вона буде якийсь час тільки два рази перетинати кола (поки на точку С не наткнеться). А ось при зсуві прямий вгору з початку координат бачимо, що пересічний чотири - і так буде, поки пряма не стане дотичній до кіл. Визначимо значення параметра у разі, якщо початок координат належить прямій. просто підставивши координати точки O в рівняння:

Тепер зрушуємо нашу пряму вгору, поки вона не стане дотичній до кіл. Якщо в цьому положенні прямої зможемо визначити координати точки або точки - справа в капелюсі.

Подумаємо: якщо пряма стосується окружності, то радіус, проведений в точку дотику, повинен бути їй перпедікулярен. Зауважимо, що пряма. розмежовує області існування кіл, має коефіцієнт нахилу 2, а пряма - коефіцієнт нахилу. і твір цих двох коефіцієнтів одно (-1), отже, прямі перпендикулярні. Таким чином, ми довели, що пряма і пряма, якій належить радіус. мають однаковий коефіцієнт нахилу, рівний 2, тобто паралельні. Знаючи, що пряма, яка містить радіус. проходить через точку. знаходимо її рівняння:.

Відстань між точками і відомо - воно дорівнює радіусу кола, вони належать одній прямій, координати точки відомі - нічого не варто знайти координати.

Вирішимо перший квадратне рівняння системи:

Два кореня - це координати по осі точок і протилежної їй точки - вона нам знадобиться трохи пізніше і ми до неї ще повернемося.

Тепер шукаємо параметр, підставляючи координати точки в рівняння прямої:

За нами маленька перемога: ми знайшли один з діапазонів параметра, який би нас влаштовував:

Нуль увійде в цей інтервал, так як там три перетину, а ось друга межа - не ввійде, там всього дві точки дотику, а потрібно більше.

Приступаємо до відшукання другого інтервалу:

Аналогічно, просто підставивши в рівняння координати точки С, визначаємо значення параметра у разі, коли пряма пройде через цю точку:

Ось зараз-то ми і повернемося до другого рішенням квадратного рівняння: адже це - координата по осі точки. .

Тоді її координата по осі ординат:

Визначаємо значення параметра:

Тоді другий проміжок значень параметра дорівнює:.