завдання споживача

Завдання споживача - формалізована модель споживчого вибору між різними наборами благ (альтернатив) при заданих цінах, заснована на принципі раціональності вибору споживача виходячи зі своїх переваг. Найчастіше передбачається, що переваги споживача задаються функцією корисності. Рішенням завдання споживача є функція (відображення) попиту.

Розрізняють пряму (маршалліанскую) і двоїсту (хіксіанскую) завдання споживача. Пряма задача виходить з максимізації корисності при даному бюджетному обмеженні. Двоїста задача - на мінімізації витрат при заданому мінімальному рівні корисності (заданого базового набору). Перше завдання призводить до вибору найкращих наборів в бюджетному безлічі, а друга - до найдешевшому набору серед всіх наборів не гірше заданого.

Пряма задача споживача

Нехай u (x) - функція корисності споживача, де x - вектор альтернатив (споживчих наборів), який є елементом припустимого безлічі X. Нехай також p - вектор цін, а R - наявний дохід споживача. Пряма задача споживача полягає в максимізації корисності на допустимому бюджетному множині. задається бюджетним обмеженням p x ⩽ R:

Рішенням цього завдання є маршалліанскій попит x (p. R). При досить слабких припущеннях функція корисності неперервна, а бюджетне безліч обмежена і замкнуто, тому таке завдання завжди має рішення (теорема Вейєрштрасса).

Двоїста задача споживача

Подвійна (хіксіанская) завдання споживача формулюється як задача мінімізації витрат споживача на придбання набору благ за умови, що їх корисність буде не менше певної величини (обрані альтернативи будуть не гірші деякого фіксованого набору благ):

де x - деякий базовий набір, а h - набір не гірше x з безлічі допустимих альтернатив.

Рішенням цього завдання є хіксіанскій попит h (p. X).

Формулювання завдання споживача в термінах переваг

Якщо ≻ - відношення строгого переваги, то задача споживача зводиться до того, щоб знайти набір з бюджетного безлічі, такий що будь-який інший допустимий набір, краще (в сенсі цього відносини переваги) даного, не належав до бюджетного безлічі.

Властивості рішень завдання споживача

Якщо переваги локально ненасищаеми. функція корисності двічі неперервно диференційовна і сильно квазівогнута, то функція маршалліанского попиту неперервно диференційовна за цінами і доходу, а функція хіксіанского попиту - за цінами.

Можна показати, що рішення прямої задачі споживача задовольняє наступній умові:

тобто вектор граничнихкорисностей пропорційний вектору цін. Це означає, що в оптимальному виборі відношення граничних корисностей окремих благ (гранична норма заміщення) дорівнює відношенню їх цін: