Завдання 7 дотична до графіка функції
Існує цілий клас задач B9, в яких взагалі не дається графік функції. Все, що відомо - це рівняння функції і дотичній. І сьогодні ми будемо вчитися вирішувати саме такі завдання.
Вирішуємо реальний приклад
Отже, перше завдання:
Пряма \ [y~ = 16x-38 \] є дотичною до графіка функції:
Знайдіть абсциссу точки дотику.
Перш за все, давайте взагалі згадаємо, що таке дотична до графіка функції. Отже, у нас є якийсь графік, а також пряма, яка стосується цього графіка, т. Е. Перетинає графік тільки в одній точці, причому кут її перетину з віссю $ Ox $, точніше, тангенс цього кута дорівнює значенню похідної в цій точці:
Тепер переведемо формальне визначення на зрозумілий людині мову. По-перше, оскільки наша пряма, задана рівнянням, є дотичною, то ці рівняння обов'язково мають спільну точку, т. Е. Вони мають спільне рішення. Отже, ми можемо прирівняти їх праві частини, т. Е .:
З іншого боку, оскільки мова йде про дотичної до графіка, а не про довільній січною, ми маємо право вимагати, щоб рівні були не тільки самі функції, але ще і їх похідні, т. Е .:
Давайте займемося першим виразом:
Ось ми отримали першу конструкцію. Це рівняння третього ступеня. Для його вирішення можна спробувати розкласти цей многочлен на множники, і, дійсно, після певних перетворень і декількох рядків обчислень ми отримаємо кілька кандидатів на відповідь. Однак згадаємо, що мова йде про простого завдання з ЄДІ з математики, причому завдання з частини В. Отже, вона повинна вирішуватися набагато простіше без всяких розкладів. І саме для цього нам дано друге рівняння. Ми вже прирівняли похідні, а тепер давайте порахуємо їх:
Ми отримали рівняння другого ступеня. Дане тотожність легко вирішується і через дискримінант, і за формулами Вієта. Давайте вирішимо його за формулою Вієта:
\ [\ Left (-3 \ right) \ left (+1 \ right) = 0 \]
Ось ми і отримали два кореня, це два кандидата на відповідь, т. Е. Ті абсциси, в яких похідна нашої дотичної до графіка функції дорівнює похідною. Тепер повертаємося до нашої вихідної конструкції і згадуємо, що крім похідних самі функції теж повинні бути рівні, т. Е. З отриманих нами іксів потрібно вибрати ті, які задовольняють рівняння. Давайте підставимо \ [= 3 \]:
Очевидно, що \ [= 3 \] є коренів обох виразів - і нашого вихідного, і похідною. На цьому можна було б закінчити рішення, але давайте для надійності ми підставимо і \ [= - 1 \]:
\ [- 1-3 \ cdot 1-9 \ cdot \ left (-1 \ right) + 27 = 0 \]
Очевидно, що цей вислів не є рівністю. Отже, \ [= - 1 \] не є коренем нашого тотожності. Звідси робимо висновок, що єдиним коренем, що задовольняє всі вимоги, є \ [= 3 \]. Це і є відповіддю до задачі. Ми знайшли абсциссу точки дотику до графіка.
Ключові моменти
У висновку давайте ще раз пробіжить по ключовим крокам рішення.
В першу чергу, що означає, що пряма є дотичною графіком функції? Це означає, що дана пряма і $ f \ left (x \ right) $ мають спільне рішення. Отже, ми можемо прирівняти $ y $ з виразів. Ми отримали перші тотожність.
Однак після його перетворення, ми отримаємо рівняння третього ступеня, а оскільки така конструкція взагалі вирішується досить складно і до того ж має кілька коренів, ми записуємо допоміжне рівність, згадуючи про те, що мова йде саме про дотичних до графіка функції, т. Е. крім самих $ f \ left (x \ right) $ рівними повинні бути ще й їх похідні. У нашому випадку похідні легко вважаються. Разом у нас вийшло просте квадратне рівність, яке потім легко вирішується, і виходить два кореня.
Виникає питання: який з цих коренів є правильною відповіддю? Щоб знайти правильну відповідь, досить кожне з цих чисел підставити в наше рівняння, яке ми отримали на самому початку. Тут ми і отримаємо, що один з коренів нас повністю влаштовує, а другий корінь - немає, т. Е. Він точно не є рішенням.
З точки зору геометрії відбувається наступне. Припустимо, що у нас є ось така функція:
У неї є точка максимуму і точка мінімуму. В обох випадках похідна дорівнює нулю, і, отже, дотична, проведена через кожну з цих точок, теж має похідну, рівну 0, т. Е. Вона горизонтальна. Однак, як ми бачимо, не існує такої дотичної до графіка функції. Якщо дотична проходить зверху, то вона ніяк не зможе перетнути криву в нижньому значенні. І, навпаки, якщо ми розглядаємо дотичну в нижній точці, то вона ніяк не зможе перетнути нашу криву в верхньому значенні. Цим і пояснюється, що хоча похідна функції дорівнює похідній дотичній в двох точках, в результаті в нашому рівнянні нас задовольняє лише одна з них.
- Безкоштовна підготовка до ЄДІ 7 простих, але дуже корисних уроків + домашнє завдання
