Завдання 12 клас

Методика рішення задач з кінематики і динаміці коливального руху,
по хвильовим процесам буде корисна як учням, так і абітурієнтам

Коливальні і хвильові процеси вивчають в одному розділі. Цим підкреслюється велике значення вчення про коливання в сучасній науці і техніці і щось спільне, що притаманне цим рухам незалежно від їх природи.
Потрібно сказати, що при вирішенні завдань цієї теми учнями та абітурієнтами робиться багато помилок, які відбуваються через неправильне тлумачення деяких основних понять.
У процесі вирішення завдань можна навчитися користуватися відповідними формулами, усвідомити ті специфічні відмінності, які має коливальний рух в порівнянні з рівномірним і равнопеременное.
З цією метою спочатку вирішують завдання з кінематики коливального руху матеріальної точки. Як приватний, але важливий випадок цього руху розглядають рух математичного маятника.
Питання динаміки коливального руху і перетворення енергії поглиблюють за допомогою завдань про пружних коливаннях і завдань про математичному маятнику.

1.Колебательним рухом називають рух. при якому відбувається часткова або повна повторюваність стану системи по часу.
Якщо значення фізичних величин, що характеризують дане коливальний рух, повторюються через рівні проміжки часу, коливання називають періодичними.

Найпростішим коливальним рухом є гармонійне коливання матеріальної точки. Гармонійним називають коливання. в процесі якого величини, що характеризують рух (зміщення, швидкість, прискорення, сила і т.д.), змінюються з плином часу за законом синуса або косинуса (гармонійним законом).

Гармонійні коливання є найпростішими, так що різні періодичні процеси можуть бути представлені як результат накладення декількох гармонійних коливань.

Основні закони гармонійних коливань матеріальної точки можна встановити з зіставлення рівномірного кругового руху точки і руху її проекції на діаметр кола.
Якщо точка В. володіє масою m, рівномірно переміщається по окружності радіусом R з кутовою швидкістю ω (рис. 1а), то її проекція на горизонтальний діаметр - точка Ссовершает гармонійні коливання уздовж осі ОХ.
Зсув точки С від початку відліку Про руху - її координата х в кожен момент, часу визначається рівнянням

де t - час, що минув з початку коливань; (Φ + φ0) - фаза коливань, що характеризує положення точки С в момент початку відліку руху (на кресленні початкова фаза φ0 = 0), xm = R - амплітуда коливання (іноді її позначають буквою А).

Розкладаючи вектор лінійної швидкості і вектор нормального прискорення по осях ОХ і OY рис. 1 (б, в), для модулів складових і (швидкості і прискорення точки С) отримаємо:

оскільки

рівняння швидкості і прискорення точки, що здійснює гармонічні коливання, можна представити у вигляді:

Знак «мінус» в останній формулі вказує на те, що прискорення при гармонійному коливанні направлено в сторону, протилежну зсуву.

З отриманих співвідношень випливає, що:

а) максимальні значення швидкості і прискорення коливається точки рівні:

б) швидкість і прискорення зрушені один щодо одного на кут.
Там, де швидкість найбільша, прискорення дорівнює нулю, і навпаки.

в) У всіх точках траєкторії прискорення направлено до центру коливань - точці О.

2. З огляду на формулу для прискорення, рівняння другого закону Ньютона для матеріальної точки, що здійснює гармонічні коливання, можна представити у вигляді

де F є величина рівнодіючої всіх сил, прикладених до точки, - величина
повертає сили.
Величина повертає сили також змінюється за гармонійним законом.
Твір mω 2 стоїть в правій частині цього рівняння, - величина постійна, тому матеріальна точка може здійснювати гармонічні коливання лише за умови, що в процесі руху повертає сила змінюється пропорційно зсуву і спрямована до положення рівноваги, т. Е. F = - k · m .
Тут k - постійний для даної системи коефіцієнт, який в кожному конкретному випадку може бути виражений додаткової формулою через величини, що характеризують коливальну систему, і в той же час завжди рівний mω 2.

3. Кінетична енергія гармонійно хитається точки дорівнює:

У процесі гармонійного коливання сила змінюється пропорційно зсуву, тому в кожен момент часу потенційна енергія точки дорівнює:

Повна механічна енергія коливається точки

При гармонійному закону відбувається перетворення енергії з одного виду в інший.

4. Інший приклад отримання рівнянь гармонійних коливань. Той факт, що рух обертається по колу матеріальної точки відбувається за синусоїдальним законом, наочно демонструє рис. 2. Тут по осі абсцис відкладається час коливання, а по осі ординат - значення проекції радіуса-вектора рухомої точки в відповідний момент часу.

У разі руху проекції точки по осі OY рівняння коливального руху запишеться так:
(1)
Відлік часу і вимірювання y і ведеться з моменту проходження тіла через положення рівноваги (при t = 0 х = 0).
При руху проекції точки по осі OX рівняння запишеться у вигляді
(2).
відлік часу ведеться з моменту найбільшого відхилення тіла від положення рівноваги, яке також приймають за початок відліку (при t = 0 х = хm). Так, наприклад, надходять, коли підраховують час і число коливань маятника, оскільки важко зафіксувати його положення в середній точці, де він має максимальну швидкість.
Тепер, застосувавши поняття похідної функції, можна знайти швидкість тіла.
Диференціюючи рівняння (1) за часом t (перша похідна), отримаємо вираз для швидкості тіла (матеріальної точки):

Диференціюючи отриманий вираз ще раз за часом t (друга похідна), визначимо прискорення коливається точки:

Як показує практика, учні важко засвоюють поняття про круговій частоті.

З цього виразу випливає, що кругова частота дорівнює числу коливань, що здійснюються матеріальною точкою за секунд.
Потрібно звернути увагу на те, що під знаком тригонометричної функції завжди варто фаза коливань.

Фаза коливань визначає величину зсуву в момент часу t, початкова фаза визначає величину зсуву в момент початку відліку часу (t = 0).
Іноді абітурієнти, розглядаючи коливання математичного маятника, називають фазою кут відхилення нитки від вертикалі і тим самим роблять помилку. Справді, якщо уявляти собі фазу як кут, то як, наприклад, можна побачити цей кут в разі гармонійних коливань вантажу на пружині?
Фаза коливань - це кутова міра часу. що пройшов від початку коливань. Будь-якому значенню часу, вираженого в частках періоду, відповідає значення фази, виражене в кутових одиницях. Нижче в таблиці вказана відповідність значення фази φ значенням часу t (вважаємо, що φ0 = 0).

Зсув х, швидкість і прискорення а можуть мати одне і те ж значення при різних кутах або часу t, так як вони виражаються циклічними функціями.
При вирішенні завдань. якщо це спеціально не обмовляється, за кут можна приймати його найменше значення.

5. Рівняння коливального руху залишаються однаковими для коливань будь-якої природи, і для електромагнітних коливань в тому числі.
В цьому випадку можна розглядати, наприклад, коливання величини заряду (qi), е.р.с. (Ei), сили струму (i), напруги (u), магнітного потоку (Фi) і ін. При цьому в лівій частині рівнянь стоять миттєві значення зазначених величин.

Частота і період електромагнітних коливань коливань (формула Томсона):

Хвилястим рухом називається процес поширення коливань в середовищі. Частинки середовища, в якій поширюється хвиля, не переносяться разом з хвилею, а лише здійснюють коливання біля свого положення рівноваги.

У поперечної хвилі вони коливаються в напрямках, перпендикулярних до напрямку поширення хвилі, в поздовжньої - вздовж напрямку поширення хвилі.

Поширюючись в середовищі, хвиля переносить з собою енергію від джерела коливань.

Механічні поперечні хвилі можуть виникати тільки в твердому середовищі.
Виникнення поздовжніх хвиль можливо в твердій, рідкій і газоподібному середовищах.

Параметрами хвиль є: енергія, довжина хвилі λ (лямбда), частота ν (ню), період коливань T. швидкість υ.

1. Хвилях притаманні однакові властивості і явища. відбиття від кордону розділу двох середовищ, в яких поширюється хвиля, переломлення - зміна напрямку хвилі при після її проходження кордону розділу двох середовищ, інтерференція - явище накладення хвиль, в результаті якого відбувається посилення або ослаблення коливань, дифракція - явище огинання хвилями перешкод або отворів.
Умовою виникнення інтерференції є когерентність хвиль - вони повинні мати однакову частоту коливань і постійну різницю фаз цих коливань.

Умова максимумів (посилення хвиль):

Максимуми коливань при інтерференції виникає в тих точках середовища, для яких в різниці ходу хвиль вкладається парне число напівхвиль.

Умова мінімумів (ослаблення хвиль):

Мінімуми коливань при інтерференції виникає в тих точках середовища, для яких в різниці ходу хвиль вкладається непарне число півхвиль.

повернутися до методики вирішення завдань

Вирішуючи наведені нижче завдання, Ви зможете глибше зрозуміти
природу коливального і хвильового руху

1. Напишіть рівняння гармонійних коливань, якщо частота дорівнює 0,5 Гц, амплітуда 80 см. Початкова фаза коливань дорівнює нулю.

2. Період гармонійних коливань матеріальної точки дорівнює 2,4 с, амплітуда 5 см, початкова фаза дорівнює нулю. Визначте зміщення коливної точки через 0,6 с після початку коливань.

З. Напишіть рівняння гармонійних коливань, якщо амплітуда дорівнює 7 см і за 2 хв відбувається 240 коливань. Початкова фаза коливань дорівнює π / 2 рад.

4. Обчисліть амплітуду гармонійних коливань, якщо для фази π / 4 рад зсув дорівнює 6 см.

5. Напишіть рівняння гармонійних коливань, якщо за 1 хв відбувається 60 коливань; амплітуда дорівнює 8 см, а початкова фаза 3 · π / 2 рад.

6. Амплітуда коливань дорівнює 12 см, частота 50 Гц. Обчисліть зміщення коливної точки через 0,4 с. Початкова фаза коливань дорівнює нулю.

7. Рівняння гармонійних коливань тіла x = 0,2 · cos (π t) в (СІ). Знайдіть амплітуду, період, частоту і циклічну частоту. Визначте зміщення тіла через 4 с; 2 с.

Коливання математичного маятника і вантажу на пружині

1. Математичний маятник (див. Рис.) Робить коливання з амплітудою 3 см. Визначте зміщення маятника за час, що дорівнює Т / 2 і Т. Початкова фаза коливань дорівнює π рад.

Рішення:
Які перетворення енергії відбуваються при русі математичного маятника з крайнього лівого положення до положення рівноваги?

Відповідь: Кінетична енергія маятника збільшується, потенційна зменшується. У положенні рівноваги маятник має максимальну кінетичну енергію

2. Вантаж на пружині (див. Рис.) Робить коливання з амплітудою 4 см. Визначте зсув вантажу за час, що дорівнює Т / 2 і Т. Початкова фаза коливань дорівнює нулю.
Як спрямовані прискорення і швидкість математичного маятника при його русі з крайнього правого положення до положення рівноваги?

3. На що обертається диску укріплений кульку. Який рух здійснює тінь кульки на вертикальному екрані?
Визначте зсув тіні кульки за час, що дорівнює Т / 2 і Т, якщо відстань від центру кульки до осі обертання дорівнює 10 см. Початкова фаза коливання тіні кульки дорівнює π рад.

4. Математичний маятник за Т / 2 зміщується на 20 см. З якою амплітудою коливається маятник? Початкова фаза коливань дорівнює π.

5. Вантаж на пружині за Т / 2 зміщується на 6 см. З якою амплітудою коливається вантаж? Початкова фаза коливань дорівнює π рад.
Який з двох маятників, зображених на малюнку, коливається з більшою частотою?

6. По якій траєкторії буде рухатися кулька, якщо перепалити нитку в момент проходження маятником положення рівноваги?
Що можна сказати про період коливань маятників, зображених на малюнку (m2> m1)?

7. Перший маятник Фуко (1891, Париж) мав період коливань 16 з Визначте довжину маятника. Прийміть g = 9,8 м / с 2.

8. Два маятника, довжини яких відрізняються на 22 см, роблять в одному і тому ж місці Землі за деякий час один 30 коливань, інший 36 коливань. Знайдіть довжини маятників.

9. Вантаж масою 200 г здійснює коливання на пружині з жорсткістю 500 Н / м. Знайдіть частоту коливань і найбільшу швидкість руху вантажу, якщо амплітуда коливань 8 см.

10. Визначте прискорення вільного падіння на Місяці, якщо маятниковий годинник йде на її поверхні в 2,46 рази повільніше, ніж на Землі.

11. Пружина під дією вантажу подовжилася на 1 см. Визначте, з яким періодом почне коливатися цей вантаж на пружині, якщо його вивести з положення рівноваги.

12. Під дією підвішеного тіла пружина подовжилася на.
Доведіть, що період вертикальних коливань цього вантажу дорівнює

13. Вантаж висить на пружині і коливається з періодом 0,5 с. На скільки коротшатиме пружина, якщо зняти з неї вантаж?

14. Пружина під дією прикріпленого до неї вантажу масою 5 кг, здійснює 45 коливань в хвилину. Знайдіть коефіцієнт жорсткості пружини.

15. На скільки підуть годинник за добу, якщо їх перенести з екватора на полюс?
(Gе = 978 см / с 2. gп = 983 см / с 2.)

16. Годинник з маятником довжиною 1 м за добу відстають па 1 ч. Що треба зробити з довжиною маятника, щоб годинник не відставали?

17. Для визначення на досвіді прискорення вільного падіння змусили коливатися вантаж на нитки, при цьому він зробив 125 коливань за 5 хв. Довжина маятника дорівнює 150 см. Чому дорівнює g?

електромагнітні коливання
Період, частота, напруга, ЕРС, сила змінного електричного струму

1. За графіком, зображеному на малюнку, визначте амплітуду ЕРС, період струму і частоту. Напишіть рівняння ЕРС.

4. Значення напруги, виміряний в вольтах, задано рівнянням, де t виражено в секундах. Чому дорівнює амплітуда напруги, період і частота?

5. Миттєве значення сили змінного струму частотою 50 Гц дорівнює 2 А для фази π / 4 рад. Яка амплітуда сили струму? Знайдіть миттєве значення сили струму через 0,015 с, рахуючи від початку періоду.

6. Миттєве значення ЕРС змінного струму для фази 60 ° дорівнює 120 В. Яка амплітуда ЕРС? Чому дорівнює миттєве значення ЕРС через 0,25 с, рахуючи від початку періоду? Частота струму 50 Гц.

Механічні і електромагнітні хвилі

1. Чому морські хвилі збільшують свою висоту, наближаючись до берега?

2. Визначте довжину хвилі за наступними даними: a) υ = 40 м / с, Т = 4 с; б) υ = 340 м / с, ν = 1 кГц.

3. Визначте швидкість поширення хвилі, якщо її довжина 150 м, а період 12 с. На якій відстані знаходяться найближчі точки хвилі, колив-лющіеся в протилежних фазах?

4. Який частоті камертона відповідає звукова хвиля в повітрі довжиною 34 м? Швидкість звуку в повітрі дорівнює 340 м / с.

5. На землі почутий грім через 6 секунд після спостереження блискавки. На якій відстані від спостерігача виникла блискавка?

6. Радіопередавач штучного супутника Землі працює на частоті 20 МГц. Яка довжина хвилі передавача?

7. На якій частоті повинен працювати радіопередавач корабля, що передає сигнал лиха «SOS», якщо за міжнародною угодою цей сигнал передається на хвилі довжиною 600 м?

повернутися до методики вирішення завдань