Застосування теорем Чеви і Менелая
Якщо три чевіани Аx, Вy, Сz (по одній з кожної вершини) треугольнка АВС конкурентні, то
Коли ми говоримо, що три прямі (або відрізка) конкурентні, то ми маємо на увазі, що всі вони проходять через одну точку, яку позначимо через Р.
Для доведення теореми Чеви згадаємо, що площі трикутників з рівними висотами пропорційні підстав трикутників.
(Посилаючись на малюнок, ми маємо
Тепер, якщо ми перемножимо їх, то отримаємо
Нехай точка А1 лежить на боці ВС трикутника АВС, точка С1 - на стороні АВ, точка В1 - на продовженні сторони АС за точку С. Точки А1, В1 ІС1 лежать на одній прямій тоді і тільки тоді, коли виконується рівність
Ця теорема Входить в золотий фонд давньогрецької математики. Вона дійшла до нас в арабському перекладі книги «Сферика» Менелая Олександрійського. Рівність Менелая можна записувати, починаючи з будь-якої вершини трикутника, в будь-якому напрямку (за годинниковою стрілкою, проти годинникової стрілки).
У трикутнику АВС за ЗС взята точка N так, що NC = 3BN; на продовженні сторони АС за точку А взята точка М так, що МА = АС. Пряма MN перетинає сторону АВ в точці F. Знайдіть: ставлення
Рішення. За умовою завдання МА = АС, NC = 3BN. Нехай МА = АС = b,
BN = k, NC = 3k. Пряма MN перетинає дві сторони трикутника АВС і продовження третьої. По теоремі Менелая
Нехай AD - медіана трикутника АВС. На стороні AD взята точка K так, що AK: KD = 3: 1. Пряма ВК розбиває трикутник АВС на два. Знайдіть відношення площ цих трикутників.
Рішення. Нехай BD = DC = a, KD = m; тоді AK = 3m. Нехай Р - точка перетину прямої ВК зі стороною АС.
Необхідно знайти відношення
Так як трикутники АВР і РВС мають рівні висоти, проведені з вершини В, то
По теоремі Менелая для трикутника ADC і січною PB маємо:
У трикутнику АВС, описаному близько окружності, АВ = 8, ВС = 5, АС = 4.
А1, В1і С1 - точки дотику, що належать відповідно сторонам ВС, АС і ВА. Р - точка перетину відрізків Аа1 і СС1. Точка Р лежить на бісектрисі ВВ1. Знайдіть АР: РА1.
Рішення. Нехай С1в = x, тоді, використовуючи властивість дотичних, проведених до кола з однієї точки, введемо позначення. Ва1 = ВР1 = х, А1С = СВ1 = 5-х, АВ1 = АС1 = 8-х.
У трикутнику АВА1 пряма С1С перетинає дві його сторони і продовження третьої сторони. По теоремі Менелая
У трикутник АВС, описаному близько окружності, АВ = 8, ВС = 12, АС = 9, А1 і С1 - точки дотику, що лежать відповідно на сторонах ВС і АВ. Q - точка перетину відрізків Аа1 і ВВ1. Q лежить на висоті ВВ1. Знайдіть відношення ВQ: QB1.
Рішення. Трикутник АВС - різнобічний, значить, точка В1 не збігається з точкою дотику.
1. Нехай С1в = x, тоді, використовуючи властивість дотичних, проведених до кола з однієї точки, введемо позначення:
(13-x) + (12-x) = 9, x = 8.
Значить, С1в = 8, АС1 = 5.
2. За формулою Герона
3. З трикутника АВВ1 (прямокутного) по теоремі Піфагора АВ1 =
4. У трикутнику АВВ1 пряма СС 1 перетинає дві його сторони і продовження третьої. По теоремі Менелая
Сторони трикутника 5,6 і 7. Знайдіть відношення відрізків, на які бісектриса більшого кута цього трикутника розділена центром кола, вписаного в трикутник.
Рішення. Нехай в трикутнику АВС, АВ = 5, ВС = 7, АС = 6. Кут ВАС лежить проти більшої сторони в трикутнику АВС, значить, кут ВАС - більший кут трикутника. Центр вписаного кола трикутника лежить на перетині биссектрис. Необхідно знайти АТ: ОD. Так як AD - бісектриса трикутника АВС, то тобто BD = 5k, DC = 6k.
Так як BF - бісектриса трикутника АВС, то тобто AF = 5m, FC = 7m.
Пряма BF перетинає дві сторони і продовження третьої трикутника ADC. По теоремі Менелая
Бісектриси BF і AD трикутника АВС перетинаються в точці Q. Знайдіть площу трикутника АВС, якщо
Рішення. Нехай АВ = a, тоді АС =
Аd-бісектриса трикутника АВС, тоді тобто BD = 2p, DC = 3p.
ВЕ - бісектриса трикутника АВС, тоді
У трикутнику ВЕС пряма АD перетинає дві його сторони і продовження третьої сторони. По теоремі Менелая тобто EQ = 9m, QB = 14m.
Трикутники QBD і EBC мають загальний кут, значить,
Трикутники АВС і ВЕС мають рівні висоти, проведені з вершини В, значить, тоді
У трикутнику АВС, площа якого дорівнює 6, на стороні АВ взята точка К, що ділить цю сторону щодо АК: ВК = 2: 3, а на стороні АС - точка L, що поділяє АС щодо AL: LC = 5: 3. Точка Q перетину прямих CK і BL віддалена від прямої АВ на відстань. Знайдіть довжину сторони АВ.
Рішення. 1. Трикутники ABL і ABC мають однакову висоту, проведену з вершини В. тоді
2. Пряма КС перетинає в трикутнику ABL дві сторони і продовження третьої. По теоремі Менелая тобто BQ = 4p, QL = p.
3. Трикутники KBQ і ABL мають загальний кут, значить, тоді
У трикутнику АВС точки К і L належать відповідно сторонам АВ і ВС. АК: ВК = 1: 2, CL: BL = 2: 1. Q - точка перетину відрізків AL і CK. Знайдіть площу трикутника АВС.
Рішення. У трикутнику МВС пряма AL перетинає дві сторони трикутника і продовження третьої сторони. По теоремі Менелая 1)
У трикутнику АВМ пряма КС перетинає дві сторони трикутника і продовження третьої сторони. По теоремі Менелая 2) тобто МС = 4p, AM = p.
2. Ще раз перепишемо рівність (1):
тобто MQ = 2l, QB = 5l.
3. Трикутники BQC і MBC маю загальний кут, значить, тоді
4. Трикутники АВС і МВС мають рівні висоти, проведені з вершини В, значить,
На стороні АС в трикутнику АВС взята точка К, АК = 1, КС = 3.
На стороні АВ взята точка L. AL: LB = 2: 3. Q - точка перетину прямих ВК і CL. Знайдіть довжину висоти трикутника АВС, опущеною з вершини В.
Рішення. Пряма ВК перетинає дві сторони і продовження третьої трикутника ALC. По теоремі Менелая тобто LQ = 1p, QC = 5p.
1) Трикутники ALC і AQC мають загальний кут, значить,
2) Трикутники АВС і ALC мають загальну висоту, проведену з вершини С, значить,
Через середину М боку ВС паралелограма АВСD, площа якого 1, і вершину А проведена пряма, яка перетинає діагональ BD в точці Q. Знайдіть площу чотирикутника QMCD.
Рішення. так як СО - медіана трикутника BCD, значить, ділить трикутник BCD на два рівновеликих трикутника.
1) МА перетинає дві сторони і продовження третьої трикутника ВОС, значить, по теоремі Менелая звідки
2) Трикутники BQM і BOC мають загальний кут, значить
У трапеції ABCD з основою AD і ВС через середину А проведена пряма, яка перетинає діагональ BD в точці Е і бічну сторону CD в точці К, причому BE: ED = 1: 2 і CK: KD = 1: 4. Знайдіть відношення довжин підстав трапеції.
Рішення. Нехай ВC = a, AD = b. необхідно знайти
Нехай Q - точка перетину прямих ВС і АК.
1) По теоремі Менелая для трикутника BCD і січною AQ маємо
2) (за двома кутами), тоді
Так як a = BC, b = AD, то
На стороні NP квадрата MNPQ взята точка А, а на стороні PQ - точка В так, що NA: AP = PB: BQ = 2: 3. Точка L є точкою перетину відрізків МА і NB. У якому відношенні точка L ділить відрізок MA?
Рішення. Проведемо пряму Ав. Нехай вона перетинає MQ в точці F. Нехай пряма NB перетинає пряму MQ в точці D.
тоді звідки тоді звідки
З трикутника APB (прямокутного) по теоремі Піфагора АВ =
З трикутника QBF (прямокутного) по теоремі Піфагора BF =
З трикутника AFM по теоремі Менелая
1. Для вирішення завдань необхідно навчитися знаходити на малюнку трикутник, що задовольняє теоремі Менелая.
2. При складанні рівності треба переходити від вершини до вершини через точку перетину січної лінії з цією стороною або її продовженням; закінчувати необхідно в тій же вершині, з якої почали.
Значимість даної роботи:
При вирішенні завдань (в роботі їх представлено 12) ми прийшли висновок, що:
А) теореми Чеви і Менелая дозволяють легко і витончено вирішувати цілий клас задач;
Б) наша робота може бути використана для проведення практичних занять на елективних курсах з учнями випускних класів та при підготовці до Єдиного Державного Іспиту.