Застосування похідної до визначення проміжків монотонності

Якщо функція має позитивну похідну в кожній точці інтервалу (a; b), то вона зростає на цьому інтервалі.

Якщо функція має негативну похідну в кожній точці інтервалу (a; b), то вона зменшується на цьому інтервалі.

Проміжки зростання і спадання функції називаються проміжками її монотонності.

Якщо функція монотонна на інтервалі (a; b) і неперервна в точках a і b, то вона монотонна на відрізку [a; b].

Щоб знайти проміжки монотонності функціонально f (x) (наприклад, f (x) = x 3 -27x). треба:

f '(x)<0 (3x 2 -27<0, 3(x 2 -9)<0, x ).

рішення нерівності f '(x)> 0 - це проміжки зростання,

(На проміжках (-; -3) і (3;) функція f (x) = x 3 -27x зростає);

рішення нерівності f '(x)<0 –это промежутки убывания

(На проміжку (-3; 3) функція f (x) = x 3 -27x убуває).

Зауваження. Так як f (x) = x 3 -27x неперервна на області визначення, то кінці проміжків можна приєднати до проміжків монотонності.

Застосування похідної для відшукання точок екстремуму

(Точок максімуіа і мінімуіа) функції

Щоб знайти точки екстремуму функції функціонально f (x) (наприклад,

1.Найти похідну функції ((x 3 -27x) '= 3x 2 -27).

2.Найті точки, в яких похідна дорівнює нулю або не існує f '(x) = 0, (3x 2 -27 = 0, 3 (x 2 -9) = 0, x 2 -9 = 0, (x-3 ) (x + 3) = 0, x = 3, x = -3). f '(x) існує на всій області визначення функції f (x) = x 3 -27x.

3.Проверіть знак похідної ліворуч і праворуч від знайдених точок і безперервність функції в цих точок

4. Якщо функція неперервна в точці, а похідна змінює знак з «+» на «-» при переході через цю точку, то ця точка - точка максимуму

5. Якщо функція неперервна в точці, а похідна змінює знак з «-» на «+» при переході через цю точку, то ця точка - точка мінімуму

Відшукання проміжків монотонності і точок екстремуму функції.

Проміжки монотонності і точки екстремуму найчастіше знаходять спільно.

Щоб знайти проміжки монотонності і точки максимуму і мінімуму функції (наприклад, y = x 3 -3x 2). треба:

1.Найти область визначення функції D (f) (дляf (x) = x 3 -3x 2 - це вся числова пряма).

2.Найті похідну функції ((x 3 -3x 2) '= 3x 2 -6x).

Знайти точки, в яких похідна дорівнює нулю або не

f '(x) = 0, (3x 2 -6x = 0, 3x (x -2) = 0, x = 0, x = 2). f '(x) існує на всій

області визначення функції f (x) = x 3 -3x 2.

Перевірити знак похідної ліворуч і праворуч від

Знайдених точок і безперервність функції в цих

Загальна схема дослідження функції та побудови графіка функції.

Загальне дослідження функції (наприклад, y = 0,75x 4 - x 3 -3x 2) можна виконати за схемою:

1.Найти область визначення функції (дляf (x) = 0,75x 4 -x 3 -3x 2 це вся числова пряма).

Встановити парність або непарність функції

(F (-x) = 0,75 (-x) 4 - (-x) 3 -3 (-x) 2 = 0,75x 4 + x 3 -3x 2 ≠ f (x) ≠ -f (x) , функція не є ні парною. ні непарною).

Встановити періодичність функції.

(Функція y = 0,75x 4 - x 3 -3x 2 цієї статті не є багаторазовим періодичної)

4.Найті нулі функції (точки перетину графіка з віссю OX), для цього вирішити рівняння f (x) = 0. (0 = 0,75x 4 - x 3 -3x 2. x 2 (0,75x 2 - x -3) = 0, x1 = 0, x2 ≈-1,4, x3 ≈ 2,8)

5. Знайти точку перетину графіка з віссю OY, для цього обчислити значення функції в точці 0, тобто f (0). (F (0) = 0,75 · 0 4 - 0 3 -3 · 0 2 = 0)