Заміна змінної в певному інтегралі - студопедія

Теорема 3. Нехай функція неперервна на відрізку.

1) функція і її похідна неперервні при;

2) безліччю значень функції при є відрізок;

3),, то справедлива формула

Формула (3) називається формулою заміни змінної в певному інтегралі.

1. При обчисленні визначеного інтеграла методом підстановки, використання заміни змінної дозволяє спростити вихідний інтеграл, наблизивши його до табличного. При цьому немає необхідності повертатися до початкової змінної інтегрування - досить лише знайти нові межі інтегрування і (для цього треба вирішити щодо змінної t рівняння і)).

2. Часто замість підстановки використовують підстановку. В цьому випадку знаходження нових меж інтегрування по змінній t спрощується:,.

3. Не слід забувати міняти межі інтегрування при заміні змінних.

Приклад 5. Обчислити інтеграл

Рішення: Введемо нову змінну за формулою. Визначимо і. Звівши в квадрат обидві частини рівності, одержимо, звідки,. Знаходимо нові межі інтегрування. Для цього в формулу підставимо старі межі і. Отримаємо:, звідки і, отже,; , Звідки і, отже,. Таким чином:

Приклад 6. Обчислити інтеграл.

Рішення: Скористаємося універсальної тригонометричної підстановкою. Покладемо, звідки,. Знайдемо нові межі інтегрування: якщо, то; якщо то . Значить,. отже:

Приклад 7. Обчислити інтеграл.

Рішення: Покладемо, тоді, звідки. Знаходимо нові межі інтегрування:; . Маємо:. отже: