Закон додавання швидкостей в класичній механіці - студопедія

У класичній механіці абсолютна швидкість точки дорівнює векторній сумі її відносної і переносної швидкостей:

Простою мовою: Швидкість руху тіла відносно нерухомої системи відліку дорівнює векторній сумі швидкості цього тіла відносно рухомої системи відліку і швидкості (відносно нерухомої системи) тієї точки рухливої ​​системи відліку, в якій в даний момент часу знаходиться тіло.

1. Абсолютна швидкість мухи, що повзе по радіусу обертової грамофонної пластинки, дорівнює сумі швидкості її руху щодо пластинки і тієї швидкості, яку має точка пластинки під мухою щодо землі (тобто з якої її переносить пластинка за рахунок свого обертання).

2. Якщо людина йде по коридору вагона зі швидкістю 5 кілометрів на годину щодо вагона, а вагон рухається зі швидкістю 50 кілометрів на годину відносно Землі, то людина рухається до Землі зі швидкістю 50 + 5 = 55 кілометрів на годину, коли йде у напрямку руху поїзди, і зі швидкістю 50 - 5 = 45 кілометрів на годину, коли він йде в зворотному напрямку. Якщо людина в коридорі вагона рухається до Землі зі швидкістю 55 кілометрів на годину, а поїзд зі швидкістю 50 кілометрів на годину, то швидкість людини щодо поїзда 55 - 50 = 5 кілометрів на годину.

3. Якщо хвилі рухаються щодо берега зі швидкістю 30 кілометрів на годину, і корабель також зі швидкістю 30 кілометрів на годину, то хвилі рухаються щодо корабля зі швидкістю 30 - 30 = 0 кілометрів на годину, тобто щодо корабля вони стають нерухомими.

Принцип відносності Галілея

З формули для прискорень слід, що якщо рухається система відліку рухається щодо першої без прискорення, тобто. то прискорення тіла щодо обох систем відліку однаково.

Оскільки в ньютонівської динаміці з кінематичних величин саме прискорення грає роль (див. Другий закон Ньютона), то, якщо досить природно припустити, що сили залежать лише від відносного положення і швидкостей фізичних тіл (а не їх положення щодо абстрактного початку відліку), виявиться, що всі рівняння механіки запишуться однаково в будь-якій інерційній системі відліку - інакше кажучи, закони механіки не залежать від того, в який з інерційних систем відліку ми їх досліджуємо, не залежать від вибору в якості робочої до кой-якої конкретної з інерційних систем відліку.

Також - тому - не залежить від такого вибору системи відліку спостережуваний рух тел (враховуючи, звичайно, початкові швидкості). Це твердження відоме як принцип відносності Галілея. на відміну від Принципу відносності Ейнштейна

Іншим чином цей принцип формулюється (слідуючи Галілею) так:

Якщо в двох замкнутих лабораторіях, одна з яких рівномірно прямолінійно (і поступально) рухається відносно іншої, провести однаковий механічний експеримент, результат буде однаковим.

Вимога (постулат) принципу відносності разом з перетвореннями Галілея, представляє досить інтуїтивно очевидними, багато в чому слід форма і структура ньютонівської механіки (і історично також вони мали істотний вплив на її формулювання). Говорячи ж дещо формально, вони накладають на структуру механіки обмеження, досить суттєво впливають на її можливі формулювання, історично дуже сильно сприяли її оформлення.

Центра мас системи матеріальних точок

Положення центру мас (центра інерції) системи матеріальних точок в класичній механіці визначається наступним чином:

де - радіус-вектор центра мас, - радіус-вектор i -й точки системи, - маса i -й точки.

Для випадку безперервного розподілу мас:

де - сумарна маса системи, - обсяг, - щільність. Центр мас, таким чином, характеризує розподіл маси по тілу або системі частинок.

Можна показати, що якщо система складається не з матеріальних точок, а з протяжних тіл з масами. то радіус-вектор центра мас такої системи пов'язаний з радіус-векторами центрів мас тіл співвідношенням:

Інакше кажучи, в разі протяжних тіл справедлива формула, за своєю структурою збігається з тією, що використовується для матеріальних точок.

Закон руху центру мас

Теорема про рух центру мас (центра інерції) системи - одна із загальних теорем динаміки, є наслідком законів Ньютона. Стверджує, що прискорення центру мас механічної системи не залежить від внутрішніх сил, що діють на тіла системи, і пов'язує це прискорення з зовнішніми силами, що діють на систему.

Об'єктами, про які йде мова в теоремі, можуть, зокрема, бути наступні:

Імпульс матеріальної точки і системи тіл - це фізична векторна величина, яка є мірою дії сили, і залежить від часу дії сили.

Закон збереження імпульсу (доказ)

Закон збереження імпульсу (Закон збереження кількості руху) стверджує, що векторна сума імпульсів всіх тіл системи є величина постійна, якщо векторна сума зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю.

У класичній механіці закон збереження імпульсу зазвичай виводиться як наслідок законів Ньютона. Із законів Ньютона можна показати, що при русі в порожньому просторі імпульс зберігається в часі, а при наявності взаємодії швидкість його зміни визначається сумою прикладених сил.

Як і будь-який з фундаментальних законів збереження, закон збереження імпульсу пов'язаний, відповідно до теореми Нетер, з однією з фундаментальних симетрій, - однорідністю простору.

Згідно з другим законом Ньютона для системи з N частинок:

де імпульс системи

а - рівнодіюча всіх сил, що діють на частинки системи

Тут - рівнодіюча сил, що діють на n -ю частку з боку m -ої, а - рівнодіюча всіх зовнішніх сил, що діють k -у частку. Згідно з третім законом Ньютона, сили виду і будуть рівні за абсолютним значенням і протилежні за напрямком, тобто. Тому друга сума в правій частині виразу (1) буде дорівнює нулю, і отримуємо, що похідна імпульсу системи по часу дорівнює векторній сумі всіх зовнішніх сил, що діють на систему:

Внутрішні сили виключаються третім законом Ньютона.

Для систем з N частинок, в яких сума всіх зовнішніх сил дорівнює нулю

або для систем, на частки яких не діють зовнішні сили (для всіх k від 1 до n), маємо

Як відомо, якщо похідна від деякого виразу дорівнює нулю, то цей вислів є постійна величина щодо змінної диференціювання, а значить:

Тобто сумарний імпульс системи з N частинок, де N будь-яке ціле число, є величина постійна. Для N = 1 отримуємо вираз для однієї частинки.

Якщо векторна сума всіх зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю, то імпульс системи зберігається, тобто не змінюється з часом.

Закон збереження імпульсу виконується не тільки для систем, на які не діють зовнішні сили, а й для систем, сума всіх зовнішніх сил дорівнює нулю. Рівність нулю всіх зовнішніх сил достатньо, але не необхідно для виконання закону збереження імпульсу.

Якщо проекція суми зовнішніх сил на яку-небудь напрямок або координатну вісь дорівнює нулю, то в цьому випадку говорять про закон збереження проекції імпульсу на даний напрямок або координатну вісь.

Динаміка обертального руху твердого тіла

Основний закон динаміки МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ при обертальному русі можна сформулювати наступним чином:

"Твір моменту інерції на кутову прискорення дорівнює результуючому моменту сил, що діють на матеріальну точку:" M = I · e.

Основний закон динаміки обертального руху ТВЕРДОГО ТІЛА щодо закріпленої точки можна сформулювати наступним чином:

"Твір моменту інерції тіла на його кутове прискорення дорівнює сумарній моменту зовнішніх сил, що діють на тіло. Моменти сил і інерції беруться щодо осі (z), навколо якої відбувається обертання:"

Основні поняття: момент сили, момент інерції, момент імпульсу

Момент сили (синоніми: крутний момент, обертальний момент, крутяться момент, що обертає момент) - векторна фізична величина, що дорівнює векторному добутку радіус-вектора (проведеного від осі обертання до точки прикладання сили - за визначенням) на вектор цієї сили. Характеризує обертальний дію сили на тверде тіло.

Поняття «обертає» і «крутить» моменти в загальному випадку не тотожні, тому що в техніці поняття «обертає» момент розглядається як зовнішнє зусилля, що прикладається до об'єкта, а «крутний» - внутрішнє зусилля, що виникає в об'єкті під дією прикладених навантажень (цим поняттям оперують в опорі матеріалів).

Момент інерції - скалярна (в загальному випадку - тензорних) фізична величина, міра інертності в обертальному русі навколо осі, подібно до того, як маса тіла є мірою його інертності в поступальному русі. Характеризується розподілом мас у тілі: момент інерції дорівнює сумі творів елементарних мас на квадрат їх відстаней до базового безлічі (точки, прямої або площини).

Одиниця виміру в Міжнародній системі одиниць (СІ): кг · м ².

Момент імпульсу (кінетичний момент, кутовий момент, орбітальний момент, момент кількості руху) характеризує кількість обертального руху. Величина, яка залежить від того, скільки массивращается, як вона розподілена відносно осі обертання і з якою швидкістю відбувається обертання.

Слід врахувати, що обертання тут розуміється в широкому сенсі, не тільки як регулярне обертання навколо осі. Наприклад, навіть при прямолінійному русі тіла повз довільній уявної точки, що не лежить на лінії руху, воно також має моментом імпульсу. Найбільшу, мабуть, роль момент імпульсу відіграє при описі власне обертального руху. Однак вкрай важливий і для набагато більш широкого класу задач (особливо - якщо в завданні є центральна або осьова симетрія, але не тільки в цих випадках).

Зауваження: момент імпульсу відносно точки - це псевдовектори, а момент імпульсу відносно осі - псевдоскаляром.

Момент імпульсу замкнутої системи зберігається.