Взаємно прості числа

Взаємно прості числа.

Розглянемо властивості взаємно простих чисел.

ПРОПОЗИЦІЯ 2.9. Цілі числа взаємно прості тоді і тільки тоді, коли одиниця подана в вигляді целочисленной лінійної комбінації цих чисел.

Доведення. Якщо числа взаємно прості, то їх найбільший спільний дільник одиниця представимо відповідно до теореми 2.5 у вигляді целочисленной лінійної комбінації цих чисел.

Зворотно: якщо одиниця подана в вигляді целочисленной лінійної комбінації чисел то в силу пропозиції 2.6 одиниця є найбільший спільний дільник цих чисел. Тому числа взаємно прості.

ПРОПОЗИЦІЯ 2.10. Цілі числа взаємно прості тоді і тільки тоді, коли вони не мають загального простого дільника.

Доказ надається Новомосковсктелю.

ТЕОРЕМА 2.11. Якщо ціле число ділить твір двох цілих чисел і взаємно просте з одним із співмножників, то воно ділить інший співмножник.

Доведення. Нехай числа а і b взаємно прості і а ділить. Доведемо, що а ділить c. Так як числа а і b взаємно прості, то існують такі цілі числа що

Помноживши обидві частини рівності на с, отримаємо. Крім того, а ділить Тому а ділить, т. Е. А ділить с.

ПРОПОЗИЦІЯ 2.12. Загальний дільник d цілих чисел не рівних одночасно нулю, тоді і тільки тоді є їх найбільшим спільним дільником, коли числа взаємно прості.

Доведення. Так як, за умовою, не всі числа дорівнюють нулю, то. Якщо d є найбільший спільний дільник чисел, то відповідно до теореми 2.5 його можна лінійно висловити через

де - цілі числа. Розділивши обидві частини рівності на d, отримаємо

Звідси згідно з пропозицією 2.9 слід, що числа взаємно прості.

Зворотно: якщо числа взаємно прості, то згідно з пропозицією 2.9 існують такі цілі числа що виконується рівність (2). Помноживши обидві частини цієї рівності на d, отримаємо рівність (1). Так як загальний дільник d чисел представимо у вигляді лінійної комбінації цих чисел, то згідно з пропозицією 2.6 число d є найбільший дільник чисел