впорядковані пари

У попередньому розділі операції над множинами давали безлічі тієї ж природи. Наприклад, якщо вихідні безлічі були множинами чисел, то і отримані в результаті операцій безлічі були множинами чисел. У цьому розділі ми визначимо операцію, за допомогою якої змінюється природа елементів виходять множин.

Визначення 2.1. Впорядкованої парою (набір з 2 об'єктів) з елементів a і b (a, b), взятих саме в цьому порядку, називається безліч, що складається з двох множин, що включають елемент a: a>, a, b>.

Таким чином, поняття впорядкованої пари не виводить розгляд за межі теорії множин. Але тим не менш незалежне визначення впорядкованої пари технічно зручніше. Виходячи з наведеного визначення, доводиться справедливість наступної леми:

Лемма: впорядковані пари (a, b) і (c, d) рівні тоді і тільки тоді, коли виконується умова: (a, b) = (c, d) | a = з b = d

Узагальненням поняття впорядкованої пари є упорядкований n-набір або картеж. На відміну від кінцевого безлічі 1. ... an> картеж (a1. ... an) на множинах А1. ... Аn. характеризується не тільки входять в нього елементами, але і порядком в якому вони перераховуються, як і для впорядкованих пар роль порядку в картеже фіксується визначенням рівності кортежів.

Визначення 2.2. Безліч всіх кортежів довжини n на безлічі А1. ... Аn називається декартовим.

Нехай А і В - два безлічі.

Визначення 2.3. Прямим (декартовим) добутком двох множин А і В називається множина впорядкованих пар, в якому перший елемент кожної пари належить множині А, а другий безлічі В.

Ступенем безлічі А називається його пряме твір самого на себе.

Перший компонент впорядкованої пари можна вибрати | А | способами, другий - | У | способами (| А | - число елементів множини А; | У | - число елементів множини В.)

Таким чином, всього є | А | · | У | упорядкованих пар.

Нехай А і В - два безлічі.

Визначення 2.4. Бінарним відношенням R з безлічі А в безліч В називається підмножина прямого твори: R Ì A 'B.

Для бінарних відносин зазвичай використовується інфіксне форма запису:

Якщо А = В. то кажуть, що R є відношення на безлічі А і записують R ÌA'А або R ÌA 2.