властивості визначників

Алгебраїчне доповнення елемента \ (> \): \ (> \)
Дійсне число: \ (k \)
Натуральні числа: \ (n \), \ (i \), \ (j \), \ (s \)

Визначником квадратної матриці \ (\ left (>> \ right) \) порядку \ (n \) називається многочлен, складений з елементів матриці і містить \ (n! \) Членів виду \ (\ right) ^ s >>>>> \ cdots >> \). Кожне таке доданок відповідає одному з \ (n! \) Різних упорядкованих множин \ (,, \ ldots \), які виходять в результаті \ (s \) попарних перестановок елементів з безлічі \ (1,2, \ ldots, n \) . Значення визначника зберігається при лінійних комбінаціях рядків або стовпців або при транспонировании матриці.

Визначник матриці n-го порядку записується у вигляді

Визначник матриці другого порядку
Визначник другого порядку складається з \ (2 \) доданків, кожне з яких представляє собою твір \ (2 \) елементів:
\ (\ Det A = \ left | >>>>> \\ >>>> \ end> ​​\ right | = >>>> \)

Визначник матриці третього порядку можна також обчислити за допомогою правила Сарруса.
Три з шести доданків входять в визначник зі знаком "плюс" і три - зі знаком "мінус". Відповідні трійки елементів схематично показані на малюнку.

властивості визначників

мінор
Додатковим мінор \ (> \), асоційованим з елементом \ (> \) квадратної матриці \ (A \) \ (n \) - го порядку, називається визначник \ (\ left (\ right) \) - го порядку, відповідний матриці з викресленими \ (i \) - ой рядком і \ (j \) - им стовпцем.

алгебраїчне доповнення
Алгебраїчне доповнення \ (> \) пов'язано з мінор \ (> \) співвідношенням
\ (> = \ Right) ^ >> \)

теорема Лапласа
Визначник n-го порядку можна обчислити за допомогою формул Лапласа.
Розкладання визначника за елементами i-ому рядку має вигляд
\ (\ Det A = \ sum \ limits_ ^ n >>>, \; \; i = 1,2, \ ldots, n \)

Розкладання визначника за елементами j-го стовпця виражається формулою
\ (\ Det A = \ sum \ limits_ ^ n >>>, \; \; j = 1,2, \ ldots, n \)

Визначник транспонованою матриці
Значення визначника не зміниться, якщо рядки і стовпці в матриці поміняти місцями (тобто при транспонировании матриці):
\ (\ Left | >>> \\ >> \ end> ​​\ right | = \ left | >>> \\ >> \ end> ​​\ right | \)

Перестановка рядків і стовпців в визначнику
Якщо два рядки (або два стовпці) поміняти місцями, то знак визначника зміниться на протилежний:
\ (\ Left | >>> \\ >> \ end> ​​\ right | = - \ left | >>> \\ >> \ end> ​​\ right | \)

Визначник з однаковими рядками або стовпцями
Якщо два рядки (або два стовпці) визначника однакові, то визначник дорівнює нулю:
\ (\ Left | >>> \\ >> \ end> ​​\ right | = 0 \)

Множення рядка або стовпця визначника на постійне число
Множення елементів будь-якого рядка (або стовпця) на один і той же число еквівалентно множенню визначника на це число. Інакше кажучи, постійний співмножник елементів будь-якого рядка (або стовпця) можна виносити за знак визначника.
\ (\ Left | >>> \\ >> \ end> ​​\ right | = k \ left | >>> \\ >> \ end> ​​\ right | \)

Лінійна комбінація елементів визначника
Якщо до елементів будь-якого рядка (або стовпця) додати відповідні елементи іншого рядка (або стовпця), помножені на постійний коефіцієнт, то значення визначника не зміниться:
\ (\ Left |> + k >> \\ + k >> \ end> ​​\ right | = \ left | >>> \\ >> \ end> ​​\ right | \)