Властивості щільності розподілу

Згадаймо формулу для знаходження ймовірності того, що випадкова величина потрапить інтервал $ (\ alpha, \ beta) $:

Знайдемо ймовірність того, що випадкова величина потрапить в інтервал $ (- \ infty, + \ infty $):

Очевидно, що випадкова величина завжди потрапить в інтервал $ (- \ infty, + \ infty $), отже, ймовірність такого попадання дорівнює одиниці. отримуємо:

Геометрично, друга властивість означає, що площа криволінійної трапеції, обмеженою графіком функції щільності розподілу $ \ varphi (x) $ і віссю абсцис чисельно дорівнює одиниці.

Можна також сформулювати зворотне властивість:

Властивість 3: Будь-яка неотрицательная функція $ f (x) \ ge 0 $, що задовольняє рівності $ \ int \ limits ^ _ = 1 $ є функцією щільність розподілу деякої неперервної випадкової величини.

Імовірнісний сенс щільності розподілу

Надамо змінній $ x $ приріст $ \ triangle x $.

Імовірнісний сенс щільності розподілу: Імовірність того, що неперервна випадкова величина $ X $ прийме значення з інтервалу $ (x, x + \ triangle x) $, наближено дорівнює добутку щільності розподілу ймовірності в точці $ x $ на приріст $ \ triangle x $:

Малюнок 4. Геометрична ілюстрація імовірнісного сенсу щільності розподілу неперервної випадкової величини.

Приклади розв'язання задач з використанням властивостей щільності розподілу

Функція щільності розподілу ймовірності має вигляд:

1. Знайти коефіцієнт $ \ alpha $.
2. Побудувати графік щільності розподілу.

Використовуючи властивість 2, отримаємо:

Тобто, функція щільності розподілу має вигляд: