Властивості правильних багатокутників

Теорема 1. Близько будь-якого правильного багатокутника можна описати коло.

Нехай ABCDEF (рис. 419) - правильний багатокутник; треба довести, що біля нього можна описати коло.

Ми знаємо, що завжди можна провести окружність через три точки, що не лежать на одній прямій; значить, завжди можна провести окружність, яка пройде через три будь-які вершини правильного багатокутника, наприклад через вершини Е, D і С. Нехай точка О - центр цієї окружності.

Доведемо, що ця окружність пройде і через четверту вершину багатокутника, наприклад через вершину В.

Відрізки ОЕ, OD і ОС рівні між собою, і кожен дорівнює радіусу кола. Проведемо ще відрізок ОВ; про цей відрізок відразу не можна сказати, що він також дорівнює радіусу кола, це треба довести. Розглянемо трикутники OED і ODC, вони рівнобедрені і рівні, отже, ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4.

Якщо внутрішній кут даного багатокутника дорівнює # 945 ;. то ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = # 945; / 2; але якщо ∠4 = # 945; / 2. то і ∠5 = # 945; / 2. тобто ∠4 = ∠5.

Звідси робимо висновок, що \ (\ Delta \) ОСD = \ (\ Delta \) ОСВ і, отже, ОВ = ОС, т. Е. Відрізок ОВ дорівнює радіусу проведеної окружності. З цього випливає, що коло пройде і через вершину В правильного багатокутника.

Таким же прийомом доведемо, що побудована окружність пройде і через всі інші вершини багатокутника. Значить, це коло буде описаного навколо даного правильного багатокутника. Теорема доведена.

Теорема 2. У будь-якій формі правильного багатокутника можна вписати коло.

Нехай ABCDEF - правильний багатокутник (рис. 420), треба довести, що в нього можна вписати коло.

З попередньої теореми відомо, що близько правильного багатокутника можна описати коло. Нехай точка О - центр цієї окружності.

З'єднаємо точку ОС вершинами багатокутника. Отримані трикутники OED, ODC і т д. Рівні між собою, значить, рівні і їх висоти, проведені з точки О, т. Е. OK = OL = ОМ = ON = OP = OQ.

Тому коло, описане з точки Про що з центру радіусом, рівним відрізку ОК, пройде через точки K, L, M, N, Р і Q, і висоти трикутників будуть радіусами кола. Сторони багатокутника перпендикулярні до радіусів в цих точках, тому вони є дотичними до цієї окружності. А це означає, що побудована окружність вписана в даний правильний багатокутник.

Таке ж побудова можна виконати для будь-якого правильного багатокутника, отже, вписати коло можна в будь-який правильний багатокутник.

Слідство. Кола, описане навколо правильного багатокутника і вписана в нього, мають загальний центр.

1. Центром правильного багатокутника називається загальний центр кіл, описаної близько цього багатокутника і вписаною в нього.

2. Перпендикуляр, опущений з центра правильного багатокутника на його сторону, називається апофемой правильного багатокутника.