властивості функцій

У 7-му і 8-му класах ви вивчали деякі властивості функцій. Зараз ми їх зберемо докупи, в один параграф, нагадаємо їх суть і геометричний сенс і домовимося про те, в якому порядку будемо перераховувати ці властивості при читанні графіка функції. Зверніть увагу: у всіх визначеннях фігурує числове безліч X, що є частиною області визначення функції: X з D (f). На практиці найчастіше зустрічаються випадки, коли X - числовий проміжок (відрізок, інтервал, промінь і т.д.).

Функцію у = f (х) називають зростаючою на множині X з D (f), якщо для будь-яких двох точок х1 і х2 безлічі X, таких, що х1 <х2. выполняется неравенство f(х1

Функцію у = f (х) називають спадною на множині X з D (f), якщо для будь-яких монотонність двох точок х1 і х2 безлічі X, таких, що х1 <х2. функции выполняется неравенство f(x1 )> f (x2).

На практиці зручніше користуватися наступними формулюваннями: функція зростає, якщо більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції; функція спадає, якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції.

У 7-му і 8-му класах ми використовували наступне геометричне тлумачення понять зростання або зменшення функції: рухаючись по графіку зростаючої функції зліва направо, ми як би піднімаємося в гору (рис. 55); рухаючись по графіку спадної функції зліва направо, як би спускаємося з гірки (рис. 56).
Зазвичай терміни «зростаюча функція», «спадна функція» об'єднують загальною назвою монотонна функція, а дослідження функції на зростання або спадання називають дослідженням функції на монотонність.

Відзначимо ще одна обставина: якщо функція зростає (або убуває) в своїй природній області визначення, то зазвичай говорять, що функція зростаюча (або спадна) - без вказівки числового безлічі X.

Дослідити на монотонність функцію:

а) у = х 3 + 2; б) у = 5 - 2х.

а) Візьмемо довільні значення аргументу х1 і х2 і нехай х1 <х2. Тогда, по свойствам числовых неравенств (мы с вами изучали их в курсе алгебры 8-го класса), будем иметь:

Остання нерівність означає, що f (х1)

Функцію у - f (х) називають обмеженою знизу на множині X з D (f), якщо всі значення функції на множині X більше деякого числа (іншими словами, якщо існує число m таке, що для будь-якого значення х є X виконується нерівність f ( х)> m).

Функцію у = f (х) називають обмеженою зверху на безлічі X з D (f), якщо всі значення функції менше деякого числа (іншими словами, якщо існує число М таке, що для будь-якого значення х є X виконується нерівність f (х) <М).

Якщо безліч X не вказано, то мається на увазі, що мова йде про обмеженість функції знизу або зверху у всій області визначення.

Якщо функція обмежена і знизу, і зверху, то її називають обмеженою.

Обмеженість функції легко прочитується по її графіку. якщо функція обмежена знизу, то її графік цілком розташований вище деякої горизонтальної прямої у = т (рис. 57); якщо функція обмежена зверху, то її графік цілком розташований нижче деякої горизонтальної прямої у = М (рис. 58).

Приклад 2. Дослідити на обмеженість функцію
Рішення. З одного боку, цілком очевидно нерівність (за визначенням квадратного кореня Це означає, що функція обмежена знизу. З іншого боку, маємо а тому
Це означає, що функція обмежена зверху. А тепер подивіться на графік заданої функції (рис. 52 з попереднього параграфа). Обмеженість функції і зверху, і знизу прочитується за графіком досить легко.

Число m називають найменшим значенням функції у = f (х) на множині X З D (f), якщо:

1) в Х існує така точка х0. що f (х0) = m;

2) для всіх x з X виконується нерівність m> f (х0).

Число М називають найбільшим значенням функції у = f (x) на множині X З D (f), якщо:
1) в Х існує така точка х0. що f (x0) = М;
2) для всіх x з X виконується нерівність
Найменше значення функції ми позначали і в 7-м, і в 8-му класах символом у, а найбільше - символом у.

Якщо безліч X не вказано, то мається на увазі, що мова йде про відшукання найменшого або найбільшого значення функції у всій області визначення.

Досить очевидні наступні корисні твердження:

1) Якщо у функції існує Y, то вона обмежена знизу.
2) Якщо у функції існує Y, то вона обмежена зверху.
3) Якщо функція не обмежена знизу, то Y не існує.
4) Якщо функція не обмежена зверху, то Y не існує.

Знайти найменше та найбільше значення функції
Рішення.

Досить очевидно, особливо якщо вдатися до допомоги графіка функції (рис. 52), що = 0 (цього значення функція досягає в точках х = -3 і х = 3), а = 3 (цього значення функція досягає в точці х = 0.
У 7-му і 8-му класах ми згадували ще дві властивості функцій. Перше назвали властивістю опуклості функції. Вважається, що функція опукла вниз на проміжку X, якщо, з'єднавши будь-які дві точки її графіка (з абсциссами з X) відрізком прямої, ми виявимо, що відповідна частина графіка лежить нижче проведеного відрізка (рис. 59). безперервність Функція опукла вгору на проміжку X, якщо, функції з'єднавши будь-які дві точки її графіка (з абсциссами з X) відрізком прямої, ми виявимо, що відповідна частина графіка лежить вище проведеного відрізка (рис. 60).

Друге властивість - безперервність функції на проміжку X - означає, що графік функції на проміжку X - суцільний, тобто не має проколів і стрибків.

Насправді в математиці все йде, як то кажуть, «з точністю до навпаки»: графік функції зображується у вигляді суцільної лінії (без проколів і стрибків) тільки тоді, коли доведена безперервність функції. Але формальне визначення безперервності функції, досить складне і тонке, нам поки не під силу. Те ж саме можна сказати і про опуклості функції. Обговорюючи зазначені два властивості функцій, будемо як і раніше спиратися на наочно-інтуїтивні уявлення.

А тепер проведемо огляд наших знань. Згадавши про ті функції, які ми з вами вивчали в 7-м і 8-му класах, уточнимо, як виглядають їхні графіки, і перерахуємо властивості функції, дотримуючись певного порядку, наприклад такого: область визначення; монотонність; обмеженість; . ; безперервність; область значень; опуклість.

Згодом з'являться нові властивості функцій, відповідно буде змінюватися і перелік властивостей.

1. Постійна функція у = С

Графік функції у = С зображений на рис. 61 - пряма, паралельна осі х. Це настільки нецікава функція, що немає сенсу перераховувати її властивості.

Графіком функції у = кх + m є пряма (рис. 62, 63).

Властивості функції у = кх + m:

1)
2) зростає, якщо до> 0 (рис. 62), убуває, якщо до <0 (рис. 63);
3) не обмежена ні знизу, ні зверху;
4) немає ні найбільшого, ні найменшого значень;
5) функція неперервна;
6)
7) про опуклості говорити не має сенсу.

Графіком функції у = кх 2 є парабола з вершиною в початку координат і з гілками, спрямованими вгору, якщо до> О (рис. 64), і вниз, якщо до <0 (рис. 65). Прямая х = 0 (ось у) является осью параболы.

Властивості функції у - кх 2:

Для випадку до> 0 (рис. 64):

1) D (f) = (-оо, + оо);
2) убуває на промені (-оо, 0], зростає на промені [0, + оо);
3) обмежена знизу, не обмежена зверху;
4) = не існує;
5) неперервна;
6) Е (f) = [0, + оо);
7) опукла вниз.

Зверніть увагу: на проміжку (-оо, 0] функція спадає, а на проміжку [0, + оо) функція зростає. Ці проміжки називають проміжками монотонності функції у = кх 2. Поняття проміжку монотонності будемо використовувати і для інших функцій.

Для випадку до <0 (рис. 65):
1) D (f) = (-оо, +00);
2) зростає на промені (-оо, 0], убуває на промені [0, + оо);
3) не обмежена знизу, обмежена зверху;
4) не існує, = 0;
5) неперервна;
6) Е (f)> = (-оо, 0];
7) опукла вгору.

Графік функції у = f (х) будується по точках; чим більше точок виду (х; f (х)) ми візьмемо, тим більш точне уявлення про графіку отримаємо. Якщо цих точок взяти досить багато, то і уявлення про графіку складеться більш повне. Саме в цьому випадку інтуїція і підказує нам, що графік треба зобразити у вигляді суцільної лінії (в даному випадку у вигляді параболи). А вже потім, Новомосковський графік, ми робимо висновки про безперервність функції, про її опуклості вниз або вгору, про область значень функції. Ви повинні розуміти, що з перерахованих семи властивостей «законними» є лише властивості 1), 2), 3), 4) - «законними» в тому сенсі, що ми в змозі обгрунтувати їх, посилаючись на точні визначення. Про решту властивості у нас є тільки наочно-інтуїтивні уявлення. До речі, в цьому немає нічого поганого. З історії розвитку математики відомо, що людство часто і довго користувалося різними властивостями тих чи інших об'єктів, не знаючи точних визначень. Потім, коли такі визначення вдавалося сформулювати, все ставало на свої місця.

Графіком функції є гіпербола, осі координат служать асимптотами гіперболи (рис. 66, 67).

1) D (f) = (-00,0) 1U (0, + оо);
2) якщо до> 0, то функція спадає на відкритому промені (-оо, 0) і на відкритому промені (0, + оо) (рис. 66); якщо до <0, то функция возрастает на (-оо, 0) и на (0, +оо) (рис. 67);
3) не обмежена ні знизу, ні зверху;
4) немає ні найменшого, ні найбільшого значень;
5) функція неперервна на відкритому промені (-оо, 0) і на відкритому промені (0, + оо);
6) Е (f) = (-оо, 0) U (0, + оо);
7) якщо до> 0, то функція опукла вгору при х <0, т.е. на открытом луче (-оо, 0), и выпукла вниз при х> 0, тобто на відкритому промені (0, + оо) (рис. 66). якщо до <0, то функция выпукла вверх при х> О і опукла вниз при х <О (рис. 67).
5. Функція
Графіком функції є гілка параболи (рис. 68). Властивості функції:
1) D (f) = [0, + оо);
2) зростає;
3) обмежена знизу, не обмежена зверху;
4) = не існує;
5) неперервна;
6) Е (f) = [0, + оо);
7) опукла вгору.

Графіком функції є об'єднання двох променів:

Властивості функції у = | х |:

1) D (f) = (-оо, + оо);
2) убуває на промені (-оо, 0], зростає на промені [0, + оо);
3) обмежена знизу, не обмежена зверху;
4) = не існує;
5) неперервна;
6) Е (f) = [0, + оо);
7) функцію можна вважати опуклою вниз.

7. Функція у = ах 2 + Ьх + з
Графіком функції є парабола з вершиною в точці
і з гілками, спрямованими вгору, якщо а> 0 (рис. 70), і вниз,
якщо а <0 (рис. 71). Прямая является осью параболы.

Огляд наших знань про функції можна вважати закінченим. Зрозуміло, наведеним переліком в реальному житті не обійтися. Деякі нові функції і їх властивості зустрінуться нам уже в цьому розділі.

Матеріали з математики онлайн. завдання та відповіді по класам, плани конспектів уроків з математики скачати

Якщо у вас є виправлення або пропозиції до даного уроку, напишіть нам.

Якщо ви хочете побачити інші коригування та побажання до уроків, дивіться тут - Освітній форум.