Властивості біноміальних коефіцієнтів

Біноміальними коефіцієнтами є величини

які виражають число поєднань з n елементів поk. Ці величини мають такі властивості.

У формулі бінома це означає, що коефіцієнти, які стоять на однакових місцях від лівого і правого кінців формули, рівні, наприклад:

дійсно,

- це кількість підмножин, содержащіхk елементів, безлічі, содержащегоn елементів. А

- кількість додаткових до них підмножин. Скільки підмножин, стільки і доповнень.

Нехай. число

- це кількість підмножин з k елементів множестваX. Розділимо всі підмножини на два класи:

1) підмножини, що не містять елемент

, - їх буде

;

2) підмножини, що містять елемент

, - їх буде

Оскільки ці класи не перетинаються, то за правилом суми кількість всіх k -елементних підмножин множестваX дорівнюватиме

На цій властивості засновано побудову трикутника Паскаля (рис. 2.2), в n -му рядку якого стоять коефіцієнти розкладання бінома

Підставами в формулу бінома Ньютона

Зауважимо, що з точки зору теорії множин сума висловлює кількість всіх подмножествn -елементного безлічі. По теоремі про потужності булеана (див. 1.4.4) це кількість дорівнює

Покладемо у формулі бінома Ньютона

. Отримаємо в лівій частині

, а в правій - біноміальні коефіцієнти з чергуються знаками, що і доводить властивість.

Остання властивість зручніше записати, перенісши все коефіцієнти з негативними знаками в ліву частину формули:

тоді властивість легко запам'ятовується в словесному формулюванні: "сума біноміальних коефіцієнтів з непарними номерами дорівнює сумі біноміальних коефіцієнтів з парними номерами".

Завдання. Знайти член розкладання бінома

НЕ содержащійx. якщо сума біноміальних коефіцієнтів з непарними номерами дорівнює 512.

Рішення. По властивості різниці сума біноміальних коефіцієнтів з парними номерами також дорівнює 512, значить, сума всіх коефіцієнтів дорівнює 512 + 512 = 1024. Але по властивості суми це число дорівнює. Тому