Власні вектори і власні значення лінійного оператора - студопедія

Вектор Х ≠ 0 називають власним вектором лінійного оператора з матрицею А, якщо знайдеться таке число l, що АХ = LХ.

При цьому число l називають власним значенням оператора (матриці А), відповідним вектору Х.

Іншими словами, власний вектор - це такий вектор, який під дією лінійного оператора переходить в колінеарний вектор, тобто просто множиться на деяке число. На відміну від нього, невласні вектори перетворюються складніше.

Запишемо визначення власного вектора у вигляді системи рівнянь:

Перенесемо всі складові в ліву частину:

Останню систему можна записати в матричній формі наступним чином:

Отримана система завжди має нульове рішення Х = О. Такі системи, в яких всі вільні члени дорівнюють нулю, називають однорідними. Якщо матриця такої системи - квадратна, і її визначник не дорівнює нулю, то за формулами Крамера ми завжди отримаємо єдине рішення - нульове. Можна довести, що система має ненульові рішення тоді і тільки тоді, коли визначник цієї матриці дорівнює нулю, тобто

Це рівняння з невідомим l називають характеристичним рівнянням (характеристичним многочленом) матриці А (лінійного оператора).

Можна довести, що характеристичний многочлен лінійного оператора не залежить від вибору базису.

Наприклад, знайдемо власні значення і власні вектори лінійного оператора, заданого матрицею А =.

Для цього складемо характеристичне рівняння | А - l Е | = = (1 - l) 2 - 36 = 1 - 2l + l 2 - 36 = l 2 - 2l - 35 = 0; Д = 4 + 140 = 144; власні значення l1 = (2 - 12) / 2 = -5; l2 = (2 + 12) / 2 = 7.

Щоб знайти власні вектори, вирішуємо дві системи рівнянь

Для першої з них розширена матриця набуде вигляду

,

Для другої з них розширена матриця набуде вигляду

,

Таким чином, власними векторами цього лінійного оператора є все вектора виду (- (2/3) с; с) з власним значенням (-5) і все вектора виду ((2/3) з1; з1) з власним значенням 7.

Можна довести, що матриця оператора А в базисі, що складається з його власних векторів, є діагональної і має вигляд:

,

де li - власні значення цієї матриці.

Вірно і зворотне: якщо матриця А в деякому базисі є діагональною, то всі вектори цього базису будуть власними векторами цієї матриці.

Також можна довести, що якщо лінійний оператор має n попарно різних власних значень, то відповідні їм власні вектори лінійно незалежні, а матриця цього оператора у відповідному базисі має діагональний вигляд.

Пояснимо це на попередньому прикладі. Візьмемо довільні ненульові значення з і з1. але такі, щоб вектори Х (1) і Х (2) були лінійно незалежними, тобто утворили б базис. Наприклад, нехай з = с1 = 3, тоді Х (1) = (-2; 3), Х (2) = (2; 3). Переконаємося в лінійної незалежності цих векторів:

= -12 ≠ 0. У цьому новому базисі матриця А прийме вид А * =.

Щоб переконатися в цьому, скористаємося формулою А * = С -1 АС. Спочатку знайдемо С -1.

Квадратичною формою f (х1. Х2. Хn) від n змінних називають суму, кожен член якої є або квадратом однієї з змінних, або добутком двох різних змінних, взятих з деякими коефіцієнтом: f (х1. Х2. Хn) = (aij = aji ).

Матрицю А, складену з цих коефіцієнтів, називають матрицею квадратичної форми. Це завжди симетрична матриця (тобто матриця, симетрична щодо головної діагоналі, aij = aji).

У матричної записи квадратична форма має вигляд f (Х) = Х Т AX, де

Наприклад, запишемо в матричному вигляді квадратичную форму.

Для цього знайдемо матрицю квадратичної форми. Її діагональні елементи рівні коефіцієнтам при квадратах змінних, а інші елементи - половин відповідних коефіцієнтів квадратичної форми. Тому

Нехай матриця-стовпець змінних X отримана невироджених лінійним перетворенням матриці-стовпця Y, тобто X = CY, де С - невироджена матриця n-го порядку. Тоді квадратична форма
f (X) = Х T АХ = (CY) T A (CY) = (Y T C T) A (CY) = Y T (C T AC) Y.

Таким чином, при невиродженому лінійному перетворенні З матриця квадратичної форми набуває вигляду: А * = C T AC.

Наприклад, знайдемо квадратичную форму f (y1. Y2), отриману з квадратичної форми f (х1. Х2) = 2x1 2 + 4х1 х2 - 3х2 2 лінійним перетворенням.

Квадратична форма називається канонічної (має канонічний вигляд), якщо всі її коефіцієнти aij = 0 при i ≠ j, тобто
f (х1. х2. хn) = a11 x1 2 + a22 x2 2 + ... + ann xn 2 =.

Її матриця є діагональною.

Теорема (доказ тут не наводиться). Будь-яка квадратична форма може бути приведена до канонічного вигляду за допомогою невиродженого лінійного перетворення.

Для цього спочатку виділимо повний квадрат при змінної х1:

Тепер виділяємо повний квадрат при змінної х2:

Відзначимо, що канонічний вид квадратичної форми визначається неоднозначно (одна і та ж квадратична форма може бути приведена до канонічного вигляду різними способами [1]). Однак отримані різними способами канонічні форми мають ряд загальних властивостей. Зокрема, число доданків з позитивними (негативними) коефіцієнтами квадратичної форми не залежить від способу приведення форми до цього виду (наприклад, в розглянутому прикладі завжди буде два негативних і один позитивний коефіцієнт). Це властивість називають законом інерції квадратичних форм.

Також слід зазначити, що ранг матриці квадратичної форми, званий рангом квадратичної форми. дорівнює числу відмінних від нуля коефіцієнтів канонічної форми і не змінюється при лінійних перетвореннях.

Квадратичну форму f (X) називають позитивно (негативно) певною. якщо при всіх значеннях змінних, які не рівних одночасно нулю, вона позитивна, тобто f (X)> 0 (негативна, тобто
f (X) <0).

Наприклад, квадратична форма f1 (X) = x1 2 + х2 2 - позитивно певна, тому що являє собою суму квадратів, а квадратична форма f2 (X) = -x1 2 + 2x1 х2 - х2 2 - негативно певна, тому що представляє її можна представити у вигляді f2 (X) = - (x1 - х2) 2.

У більшості практичних ситуації встановити знакоопределенность квадратичної форми трохи складніше, тому для цього використовують одну з наступних теорем (сформулюємо їх без доказів).

Теорема. Квадратична форма є позитивно (негативно) певною тоді і тільки тоді, коли всі власні значення її матриці позитивні (негативні).

Теорема (критерій Сильвестра). Квадратична форма є позитивно певної тоді і тільки тоді, коли всі головні мінори матриці цієї форми є позитивними.

Головним (кутовим) мінор k-го порядку матриці А n-го порядку називають визначник матриці, складений з перших k рядків і стовпців матриці А ().

Відзначимо, що для негативно певних квадратичних форм знаки головного мінору чергуються, причому мінор першого порядку повинен бути негативним.

Наприклад, досліджуємо на знакоопределенность квадратичную форму f (х1. Х2) = 2x1 2 + 4х1 х2 + 3х2 2.

Спосіб 1. Побудуємо матрицю квадратичної форми А =. Характеристичне рівняння буде мати вигляд = (2 - l) *
* (3l) - 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Отже, квадратична форма - позитивно певна.

Спосіб 2. Головний мінор першого порядку матриці А D1 = a11 = 2> 0. Головний мінор другого порядку D2 = = 6 - 4 = 2> 0. Отже, за критерієм Сильвестра квадратична форма - позитивно певна.

Досліджуємо на знакоопределенность іншу квадратичную форму, f (х1. Х2) = -2x1 2 + 4х1 х2 - 3х2 2.

Спосіб 1. Побудуємо матрицю квадратичної форми А =. Характеристичне рівняння буде мати вигляд = (-2 - l) *
* (- 3l) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Отже, квадратична форма - негативно певна.

Спосіб 2. Головний мінор першого порядку матриці А D1 = a11 =
= -2 <0. Главный минор второго порядка D2 = = 6 – 4 = 2> 0. Отже, за критерієм Сильвестра квадратична форма - негативно певна (знаки головного мінору чергуються, починаючи з мінуса).

І в якості ще одного прикладу досліджуємо на знакоопределенность квадратичную форму f (х1. Х2) = 2x1 2 + 4х1 х2 - 3х2 2.

Спосіб 1. Побудуємо матрицю квадратичної форми А =. Характеристичне рівняння буде мати вигляд = (2 - l) *
* (- 3l) - 4 = (-6 - 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + l - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;
. Одне з цих чисел негативно, а інше - позитивно. Знаки власних значень різні. Отже, квадратична форма не може бути ні негативно, ні позитивно певної, тобто ця квадратична форма не є знакоопределенной (може приймати значення будь-якого знака).

Спосіб 2. Головний мінор першого порядку матриці А D1 = a11 = 2> 0. Головний мінор другого порядку D2 = = -6 - 4 = -10 <0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).