Визначення швидкості та прискорення точки при координатному способі завдання руху - студопедія

ВИЗНАЧЕННЯ ШВИДКОСТІ І ПРИСКОРЕННЯ ТОЧКИ

ПРИ координатно ІНШОГО ЗАВДАННЯ РУХУ

Знайдемо, як обчислюються швидкість і прискорення точки, якщо її рух задано рівняннями (3) або (4). Питання про визначення траєкторії в цьому випадку був уже розглянутий раніше.

Формули (8) і (10), що визначають значення v # 773; і a # 773 ;. містять похідні за часом від векторів r # 773; і v # 773 ;. У равенствах, що містять похідні від векторів, перехід до залежностей між їх проекціями здійснюється за допомогою наступної теореми: проекція похідною від вектора на вісь, нерухому в даній системі відліку, дорівнює похідною від проекції дифференцируемого вектора на ту ж вісь. т. е.

1. Визначення швидкості точки. Вектор швидкості точки v # 773; = Dr # 773; / dt. Звідси на підставі формул (11), враховуючи, що rx = x, ry = y, rz = z, знайдемо:

де точка над буквою є символ диференціювання за часом. Таким чином, проекції швидкості точки на координатні осі дорівнюють першим похідним від відповідних координат точки за часом.

Знаючи проекції швидкості, знайдемо її модуль і напрямок (т. Е. Кути # 945 ;, # 946 ;, # 947 ;, які вектор v # 773; утворює з координатними осями) за формулами

2. Визначення прискорення точки. Вектор прискорення точки a # 773; = Dv # 773; / dt. Звідси на підставі формул (11) отримуємо:

т. е. проекції прискорення точки на координатні осі дорівнюють першим похідним від проекцій швидкості або другим похідним від відповідних координат точки за часом. Модуль і напрям прискорення знайдуться з формул

де # 945; 1. # 946; 1. # 947; 1 - кути, утворені вектором прискорення з координатними осями.

Отже, якщо рух точки задано в декартових прямокутних координатах рівняннями (3) або (4), то швидкість точки визначається за формулами (12) і (13), а ускореніе- за формулами (14) і (15). При цьому в разі руху, що відбувається в одній площині, в усіх формулах повинна бути відкинута проекція на вісь z.

У разі ж прямолінійного руху, яке задається одним рівнянням x = f (t). буде

Рівності (16) і визначають значення швидкості і прискорення точки в цьому випадку.