Визначення певного інтеграла

7. Невласні інтеграли

Розглянемо так звані невласні інтеграли. тобто визначений інтеграл від неперервної функції, але з нескінченним проміжком інтегрування (невласний інтеграл I роду), або певний інтеграл з кінцевим проміжком інтегрування, але від функції, що має на ньому бесконечнийразрив (невласний інтеграл II роду).

Розглянемо, як обчислюються невласні інтеграли I роду. Тут можливі три варіанти:

1) Нехай функція неперервна на проміжку, тоді

Якщо ця межа існує, то говорять, що інтеграл сходиться; якщо ж межа не існує або нескінченний, то кажуть, що інтеграл розходиться.

2) Якщо функція неперервна на проміжку, тоді

Обчислити невласні інтеграли або встановити їх розбіжність:

1. даний інтеграл сходиться.

2. т. К. При не існує, даний інтеграл розходиться.

отже, даний інтеграл сходиться.

У деяких завданнях немає необхідності обчислювати інтеграл, досить лише знати, сходиться він чи ні.

Сформулюємо ознака збіжності:

Інтеграл: 1) сходиться, якщо і;

2) розходиться, якщо і, де М, m - постійні.

Приклад. Встановити, сходиться або розходиться інтеграл, використовуючи ознака збіжності.

Рішення. Так як, то. тобто підінтегральна функція задовольняє умові (1) при, даний інтеграл сходиться.

Тепер розглянемо, як обчислюються невласні інтеграли II роду.

Якщо функція терпить нескінченний розрив в точках, або, або, то інтеграл називається невласних інтеграломIIрода.

Таким чином, при обчисленні таких інтегралів також можливі три варіанти: