Визначення паралелепіпеда, його властивості - паралелепіпед - стереометрія - геометрія - математика

Розділ ІІ. стереометрії

1. Визначення паралелепіпеда, його властивості.

Собою паралелепіпед називають призму, основою якої є паралелограм.

У паралелепіпеда всі грані - паралелограми.

Оскільки паралелепіпед є призмою, то все властивості призми справедливі і для паралелепіпеда.

Паралелепіпед, бічні ребра якого перпендикулярні до площини основи, називають прямим собою паралелепіпед. Його бічні грані - прямокутники. На малюнку 459 зображено прямий паралелепіпед.

Якщо ж бічні ребра паралелепіпеда НЕ перпендикулярні до площини основи, то паралелепіпед називають похилим. На малюнку 460 зображено похилий паралелепіпед.

Грані паралелепіпеда, що не мають спільних вершин, називаються протилежними гранями. На малюнку 460 протилежними гранями є межі АВС D і А 1 В 1 C 1 D 1. АВВ1 А1 і С DD 1 С 1. АА 1 D 1 D і ВВ1 З 1 С.

Розглянемо властивості паралелепіпеда.

1) Протилежні грані паралелепіпеда паралельні і рівні.

2) Діагоналі паралелепіпеда перетинаються і точкою перетину діляться навпіл.

Приклад 1. Сторони підстави прямого паралелепіпеда рівні 10 см і 17 см, а одна з діагоналей основи 21 см. Велика діагональ паралелепіпеда дорівнює 29 см. Знайти площу бічної поверхні паралелепіпеда.

Рішення. 1) Нехай а = 10 см і b = 17 см - сторони підстави; d 1 = 21 см - діагональ підстави. За властивістю діагоналей паралелепіпеда: звідси

Оскільки 21, то більшою діагоналлю паралелепіпеда є проекцією якої на площину підстави є діагональ підстави з довжиною 21 см.

2) (илл. 459) АС = 21 см; А 1 С = 29 см.

3) Оскільки прямий паралелепіпед є видом прямої призми, то площа бічної поверхні S бич прямого паралелепіпеда можна знайти за формулою S бич = РL, де Р - периметр підстави, l - довжина бічного ребра.

Г = 2 (10 + 17) = 54 (см). S бич = 54 ∙ 20 = 1080 (см2).

Приклад 2. Основою прямого паралелепіпеда є ромб зі стороною 4 см і гострим кутом 60 °. Менша діагональ паралелепіпеда дорівнює більшій діагоналі ромба. Знайти обсяг паралелепіпеда.

Рішення. 1) Нехай АВС D А1 В1 С1 D 1 - заданий в умові паралелепіпед; АВС D - ромб; АС = 4 см; B AD = 60 ° (рис. 461).

2) Площа підстави

3) Δ АВБ - рівносторонній; BD = АВ = 4 см.

4) У Δ АВС: АВС = 90 °. по теоремі косинусів:

5) Оскільки D АС, то В 1 D - менша діагональ паралелепіпеда.