Визначений інтеграл як функція верхньої межі, безкоштовні курсові, реферати, дипломні роботи

Раніше, будуючи нові функції з відомих, ми використовували чотири арифметичні дії і суперпозицію функцій. Зараз ми розглянемо принципово інший спосіб побудови нових функцій з відомих.

Якщо інтегровна на відрізку. то, очевидно, вона інтегрована також на будь-якому відрізку. вкладеному в.

Покладемо по визначенню

де. а функція називається інтегралом із змінною верхньою межею.

Нехай на відрізку. Тоді значення функції в точці дорівнює ...
площі під кривою на відрізку.

Це дозволяє по новому поглянути на деякі відомі функцію Наприклад,. де. тому значення функції в точці чисельно дорівнює площі під гіперболою на відрізку.

Розглянемо тепер властивості функції.

Теорема 1.Пусть функція неперервна на відрізку. Тоді в кожній точці відрізка похідна функції по змінному верхній межі дорівнює підінтегральної функції. тобто

Покажемо, що функція

є первісною функції.

Згідно з визначенням похідної,

Застосовуючи теорему про повну загальну середню до проміжку. представимо інтеграл в чисельнику у вигляді. де і при.

Теорема 2.Якщо функція неперервна на відрізку. то функція також неперервна на.

Обчислення визначеного інтеграла можливо із застосуванням первісної для функції за формулою Ньютона-Лейбніца.

Теорема 3. Якщо функція неперервна на відрізку і - первісна функції. то

Формула (4) називається формулою Ньютона-Лейбніца.

Повернемося до рівняння (3). Вважаючи. знаходимо значення постійної:

Вважаючи в цьому ж рівнянні. отримуємо:

Знаходження певних інтегралів з використанням формули (4) здійснюється в два етапи: на першому кроці знаходять первісну для підінтегральної функції; на другому - застосовується власне формула (3) - знаходиться приріст первісної, рівне шуканого інтеграла. Введемо позначення для збільшення первісної

Всі методи, що застосовуються при обчисленні первісної, переносяться на обчислення певного інтеграла.

Теорема 4. (заміна змінної в певному інтегралі) .Якщо виконані умови:

1) функція неперервна на відрізку;

2) відрізок є множиною значень функції. визначеної на відрізку і має на ньому безперервну похідну;

3) і. то справедлива формула

Рішення. Покладемо. Тоді і.

Якщо. то. і якщо . то. отже,

Формула заміни змінної для визначеного інтеграла навіть зручніше, ніж для невизначеного. Нам не потрібно повертатися до вихідних змінним, а замість цього потрібно поміняти межі інтегрування.

Розглянемо, як виконується інтегрування по частинах в певному інтегралі.

Теорема 5. Якщо функції і мають безперервні похідні на відрізку. то справедлива формула