Висловлювання з кванторами і їх заперечення

Якщо заданий предикат, то, щоб перетворити його в висловлювання, досить замість кожної з змінних, що входять в предикат, підставити її значення.

Наприклад, якщо на множині натуральних чисел задано предикат А (х): «х - парне число», то підставивши замість змінної число 4, отримаємо справжнє висловлювання «4 - парне число», а, підставивши замість змінної число 5, отримаємо помилкове висловлювання « 5 - парне число ».

Існують і інші способи отримання висловлювання з предиката. Підставами перед цим предикатом слово «всяке», отримаємо помилкове пропозиція «Будь-яке натуральне число - парне». Якщо ж перед предикатом підставимо слово «деякі», то отримаємо справжнє висловлювання «Деякі натуральні числа - парні».

Вираз «для всякого х» в логіці називають квантором спільності, позначають "х.
В математиці поряд зі словом «всякий» вживають слова «все», «кожен», «будь-який».

Висловлювання ( "х Î Х) А (х) виражає властивості всіх об'єктів безлічі Х.

Вираз «для деяких х» ( «існує х. Таке, що ...», «хоча б один», «знайдеться») називають квантором існування і позначають $ х.

Висловлювання ($ х Î Х) А (х) виражає існування об'єктів з даної множини, що володіють певними властивостями або знаходяться в певному відношенні з іншими об'єктами.

Таким чином, щоб перетворити предикат у вислів, досить зв'язати квантором спільності або існування містяться в ньому змінні. Х.

З'ясуємо, як встановити значення істинності висловлювань, що містять квантори.

Істинність висловлювань з квантором спільності встановлюється шляхом докази. Потрібно переконатися в тому, що при підстановці кожного з значень х в предикат останній звертається в істинне висловлення. Якщо безліч Х звичайно, то це можна зробити шляхом перебору всіх випадків; якщо ж Х нескінченно, то необхідно провести міркування в загальному вигляді. Щоб переконатися в помилковості таких висловлювань (спростувати їх), досить привести контрприклад.

Істинність висловлювання з квантором існування встановлюється за допомогою конкретного прикладу. Щоб переконатися в помилковості такого висловлювання, необхідно провести доказ.

З'ясуємо, як побудувати заперечення висловлювань, що містять квантори. Розглянемо висловлювання: «все натуральні числа - парні». Воно помилково. У цьому легко переконатися, привівши контрприклад: 5 не є парним числом. Можна перед даною пропозицією поставити слова «невірно, що». Тоді запереченням висловлювання: «все натуральні числа - парні» буде висловлювання «невірно, що все натуральні числа - парні». Воно має таке ж значення, що і пропозиція «деякі натуральні числа парними не є».

Взагалі якщо дано пропозицію ( "х) А (х), то його запереченням будуть пропозиції і ($ х). Мають один і той же зміст.

Розглянемо висловлювання «деякі однозначні числа діляться на 10». Воно помилково. Запереченням даного висловлювання буде висловлювання «невірно, що деякі однозначні числа діляться на 10», яке має таке ж значення, що і висловлювання «всі однозначні числа діляться на 10».

Взагалі якщо дано пропозицію ($ х) А (х), то його запереченням будуть пропозиції і ( "х). Також мають один і той же зміст.

Правило: для того щоб побудувати заперечення висловлювання з квантором спільності (існування), досить замінити його квантором існування (спільності) і побудувати заперечення пропозиції, що стоїть після квантора.

1. Як можна предикат перетворити в висловлювання?

2. Наведіть приклади слів, які використовуються в якості кванторів спільності та існування.

3. Вкажіть способи встановлення значення істинності висловлювань, що містять квантори?

4. Як побудувати заперечення висловлювань, що містять квантори?

§ 5. Ставлення проходження і равносильности між пропозиціями.
Необхідна і достатня умова

Часто зустрічаються такі предикати, що з істинності одного з них слід істинність іншого. Наприклад, можна сказати, що з предиката А (х): «число х кратно 9» слід предикат В (х): «число х кратно 3», тому що ми знаємо, що при всіх значеннях х. при яких істинно твердження «число х кратно 9» буде і істинно твердження «число х кратно 3».

Визначення. Предикат В (х) випливає з предиката А (х), якщо В (х) звертається в істинне висловлення при всіх тих значеннях х. при яких правдивий предикат А (х).

У цьому випадку говорять, що дані пропозиції перебувають у відношенні логічного слідування і позначають: А (х) Þ В (х).

Якщо А (х) Þ В (х), то предикат В (х) називають необхідною умовою для А (х), а предикат А (х) - достатня умова для В (х).

Так, твердження про те, що якщо число кратно 9, то воно кратно 3, можна сформулювати так: «кратність числа 9 є достатньою умовою кратності числа 3» або «кратність числа 3 є необхідною умовою його кратності 9».

Як і будь-яке висловлювання, пропозиція А (х) Þ В (х) може бути істинним або хибним. Але так як воно може бути сформульовано у вигляді «всяке А (х) є В (х)», то його істинність встановлюється шляхом докази, а то, що воно помилкове - за допомогою контрпримера.

Розглянемо два предиката: А (х): «число закінчується нулем» і В (х): «число ділиться на 10». Зі шкільного курсу математики відомо, що якщо число закінчується нулем, то воно ділиться на 10. Вірно і зворотнє. У цьому випадку говорять, що пропозиції А (х) і В (х) рівносильні.

Визначення. Предикати А (х) і В (х) рівносильні, якщо з предиката А (х) слід предикат В (х), а з предиката В (х) слід предикат.

Для позначення відношення равносильности використовується знак Û.

Висловлення А (х) Û В (х) можна прочитати так: А (х) рівносильно В (х), А (х) тоді і тільки тоді, коли В (х), А (х) необхідна і достатня умова для В (х), В (х ) необхідна і достатня умова для А (х).

1. Що означає предикат В (х) випливає з предиката А (х)? У якому відношенні знаходяться безлічі істинності цих предикатів?

2. У якому випадку предикат А (х) буде необхідною умовою для предиката В (х), достатньою умовою для В (х)?

3. У якому випадку предикати А (х) і В (х) будуть рівносильні?