Вища математика, вишка
5.1. Основні поняття
Величини, які повністю визначаються своїм чисельним значенням, називаються скалярними. Прикладами скалярних величин є: площа, довжина, обсяг, температура, робота, маса.
Інші величини, наприклад сила, швидкість, прискорення, визначаються не тільки своїм числовим значенням, а й напрямком. Такі величини називають векторними. Векторна величина геометрично зображається за допомогою вектора.
Вектор - це спрямований прямолінійний відрізок, т. Е. Відрізок, який має певну довжину і певний напрям. Якщо А - початок вектора, а В - його кінець, то вектор позначається символом АВ або а. Вектор ВА (у нього початок в точці В, а кінець в точці A) називається протилежним вектору АВ. Вектор, протилежний вектору а. позначається - а.
Довжиною або модулем вектора АВ називається довжина відрізка і позначається | АВ |. Вектор, довжина якого дорівнює нулю, називається нульовим вектором і позначається 0. Нульовий вектор напрямку не має.
Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називається одиничним вектором і позначається через e. Одиничний вектор, напрям якого збігається з напрямком вектора a. називається ортом вектора a і про значущі a °.
Вектори а і b називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих; записують a || b.
Колінеарні вектори можуть бути спрямовані однаково або протилежно.
Нульовий вектор вважається колінеарну будь-якому вектору.
Два вектор а й b називаються рівними (а = b), якщо вони колінеарні, однаково спрямовані і мають однакові довжини.
З визначення рівності векторів випливає, що вектор можна переносити паралельно самому собі, а початок вектора поміщати в будь-яку точку Про простору.
На малюнку 1 вектори утворюють прямокутник. Справедлива рівність b = d. але а ¹ с. Вектори а і с - протилежні, а = - с.
Рівні вектори називають також вільними.
Три вектора в просторі називаються компланарними. якщо вони лежать в одній площині або в паралельних площинах. Якщо серед трьох векторів хоча б один нульовий або два будь-які колінеарні, то такі вектори компланарні
5.2. Лінійні операції над векторами
Під лінійними операціями над векторами розуміють операції додавання і віднімання векторів, а також множення вектора на число.
Нехай а і b - два довільних вектора. Візьмемо довільну точку О і побудуємо вектор ОА = а. Від точки А відкладемо вектор АВ = b. Вектор ОВ. з'єднує початок першого вектора з кінцем другого, називається сумою векторів а і b. Про B = а + b (див. Рис. 2)
.
Це правило додавання векторів називають правилом трикутника. Суму двох векторів можна побудувати також за правилом паралелі o грама (див. Рис. 3).
На малюнку 4 показано додавання трьох векторів а. b і с.
Під різницею векторів а і b розуміється вектор с = а - b такий, що b + с = а (див. Рис. 5).
Відзначимо, що в параллелограмме, побудованому на векторах а й b одна спрямована діагональ є сумою векторів а і b, а інша - різницею (див. Рис. 6).
Можна віднімати вектори за правилом: а - b = а + (- b), т. Е. Віднімання векторів замінити складанням вектора а з вектором, протилежним вектору b.
Твором вектора а на скаляр (число) # 955; називається вектор # 955; * а (або а * # 955;), який має довжину | # 955; | * | а |, коллінеарен вектору а. має напрямок вектора а. якщо # 955;> 0 і протилежний зміст, якщо # 955;<0. Из определения произведения вектора на число следуют свойства этого произведения:
1) якщо b = # 955; * А. то b || а. Навпаки, якщо b || а. (А ¹ 0), то при деякому # 955; вірно рівність b = # 955; а;
2) завжди а = | а | • а -о. т. е. кожен вектор дорівнює добутку його мо дуля на орт.
Лінійні операції над векторами мають наступні властивості:
1. а + b = b + а
2. (а + b) + с = а + (b + с),
3. # 955; 1 • (# 955; 2 • а) = # 955; 1 • # 955; 2 • а,
4. (# 955; 1 + # 955; 2) • а = # 955; 1 • а + # 955; 2 • а,
5. # 955; • (а + b) = # 955; • а + # 955; • b.
Ці властивості дозволяють проводити перетворення в лінійних операціях з вектором так, як це робиться в звичайній алгебрі: складові міняти місцями, вводити дужки, групувати, виносити за дужки як скалярні, так і векторні загальні множники.
5.3. Проекція вектора на вісь
Нехай в просторі задана вісь l, т. Е. Спрямована пряма.
Проекцією точки М на вісь l називається підстава М1 перпендикуляра ММ1. опущеного з точки на вісь.
Точка М1 є точка перетину осі l з площиною, що проходить через точку М перпендикулярно осі (див. Рис. 7).
Якщо точка М лежить на осі l. то проекція точки М на вісь збігається з М1.
Нехай АВ - довільний вектор (АВ ¹ 0). Позначимо через А1 і b 1 проекції на вісь l відповідно початку А і кінця В вектора АВ і розглянемо вектор А 1 В 1
Проекцією вектора АВ на вісь l називає ся позитивне число | A 1 B 1 |. якщо вектор А 1 В 1 і вісь l однаково спрямовані і отрица тельное число - | A 1 B 1 |. якщо вектор А 1 В 1 і вісь l протилежно спрямовані (див. рис. 8). Якщо точки a 1 і b 1 збігаються (А 1 В 1 = 0), то проекція вектора АВ дорівнює 0.
Проекція вектора АВ на вісь l позначається так: пр l АВ. Якщо АВ = 0 або АВ ^ l. то прl АВ = 0.
Кут j між вектором а й віссю l (або кут між двома векторами) зображений на малюнку 9. Очевидно, 0 £ j £ p
Розглянемо деякі основні властивості проекцій.
Властивість 1. Проекція вектора a на вісь l дорівнює добутку модуля вектора a на косинус кута j між вектором і віссю, т. Е. Ін l a = | a | • cos j.
Слідство 5.1. Проекція вектора на вісь позитивна (негативна), якщо вектор утворює з віссю гострий (тупий) кут, і дорівнює нулю, якщо цей кут - прямий.
Слідство 5.2. Проекції рівних векторів на одну і ту ж вісь рівні між собою.
Властивість 2. Проекція суми декількох векторів на одну і ту ж вісь дорівнює сумі їх проекцій на цю вісь
Властивість 3. При множенні вектора а на число А його проекція на вісь також множиться на це число, т. Е.
Таким чином, лінійні операції над векторами приводять до відповідних лінійних операцій над проекціями цих векторів.
5.4. Розкладання вектора по ортам координатних осей.
Модуль вектора. Напрямні косинуси.
Розглянемо в просторі прямокутну систему координат Oxyz. Виділимо на координатних осях Ох, Оу і Oz одиничні вектори (орти), що позначаються i. j. k відповідно (див. рис. 12).
Виберемо довільний вектор а простору і сумісний його початок з початком координат: а = ОМ.
Знайдемо проекції вектора а на координатні осі. Проведемо через кінець вектора ОМ площині, паралельні координатним площинам. Точки перетину цих площин з осями позначимо відповідно через М 1. М2 і Мз.Получім прямокутний паралелепіпед, однією з діагоналей якого є вектор ОМ. Тоді ін х а = | OM 1 |, npy a = | ОМ 2 |, пр z а = | ОМ з |. За визначенням суми декількох векторів знаходимо а = ОМ 1 + M1 N + NM.
А так як M 1 N = OM 2. NM = ОМ з, то
Позначимо проекції вектора а = ОМ на осі Ох, Оу і Oz відповідно через ах. ау і az. тобто | OM 1 | = Ах, | ОМ 2 | = Ау. | ОМ 3 | = А z. Тоді з рівності (5.1) і (5.2) отримуємо
Ця формула є основною в векторному численні і називається розкладанням вектора по ортам координатних осей. Числа ах. ау. az називаються координатами вектора а, т. е. координати вектора є його проекції на відповідні координатні осі.
Векторне рівність (5.3) часто записують в символічному вигляді: a = (ax; ay; az).
Рівність b = (bx; by; bz) означає, що b = b х • i + b у • j + bz • k. Знаючи проекції вектора а. можна легко знайти вираз для модуля вектора. На підставі теореми про довжину діагоналі прямокутного паралелепіпеда можна написати
т. е. модуль вектора дорівнює квадратному кореню з суми квадратів його проекцій на осі координат.
Нехай кути вектора а з осями Ох, Оу і Oz відповідно рівні a, b, g. По властивості проекції вектора на вісь, маємо
Або, що те ж саме,
Числа називаються напрямними косинусами вектора а.
Підставами вираження (5.5) в рівність (5.4), отримуємо
Скоротивши на отримаємо співвідношення
т. е. сума квадратів напрямних косинусів ненульового вектора дорівнює одиниці.
Легко помітити, що координатами одиничного вектора e є числа
Отже, задавши координати вектора, завжди можна визначити його модуль і напрямок, тобто сам вектор.