Випадкові процеси та їх імовірнісні характеристики
З практичної точки зору рішення про випадковість або детермінованості процесу грунтується на здатності відтворити процес в ході контрольованого експерименту. Якщо це призводить до одних і тих же результатів - то процес вважається детермінованим.
Детерміновані процеси - це процеси, які можна описати математичними формулами (тобто ми можемо визначити положення системи в будь-який момент часу з розумною точністю). Наприклад: рух супутника на навколоземній орбіті, вимірювання температури води при нагріванні.
А процеси, такі як висота хвиль при невеликому (і великому) штормі, напруга в нашій електромережі, зміна чисельності жителів в Харкові з плином часу не є детермінованими - точне положення системи в таких процесах точно визначити неможливо. Для опису цих процесів потрібні імовірнісні поняття і статистичні характеристики.
Є ще третій вид процесів - хаотичні. З одного боку - детерміновані. Але дуже нелінійні, з сильною залежністю від початкових умов. В реальності початкові умови точно повторити не можна, і поведінка системи через деякий час стає непередбачуваним. На виході такі системи мають випадкові характеристики і до них потрібні імовірнісні підходи.
Коротко охарактеризуємо основні види процесів.
Періодичні представимо какX (t) = X (t + T) і розкладаються в ряд Фур'є X (t) =
з порівнянними частотами
Наприклад, радіосигнал з певною частотою.
Приблизно такими процесами є: напруга на виході електричного генератора; вібрація двигуна внутрішнього згоряння.
Якщо в спектрі присутні частоти, відносини яких
Всі інші процеси вважаються перехідними (система не вийшла на сталий режим)
Температура води в чайнику після відключення живлення:
Загасання маятника після поштовху:
Напруга в тросі, який розривається:
Теорією випадкових процесів (CП) називається математична наука, що вивчає випадкові явища в динаміці їх розвитку.
Стаціонарні - дуже грубо кажучи, характеристики цих процесів не залежать від їх розташування на тимчасової осі. Для дослідження добре розвинений матаппарат. Наприклад: тиск газу в газопроводі, коливання напруги в мережі.
Ергодіческіе процеси -такие стаціонарні процеси, коли по одній тимчасової реалізації процесу можна знайти характеристики процесу. На практиці, практично всі стаціонарні процеси виявляються ергодичними (або зводяться до них)
У нестаціонарних процесів все властивості істотно залежать від часу (наприклад, число студентів, що проходять через прохідну ХИРЕ в одиницю часу).
Визначення СП [1,3]
Випадкові процеси є матмоделі для опису випадкових явищ, що розвиваються в часі. При цьому передбачається, що стан в поточний момент часу є випадкова величина
Випадковий процес є сімейство випадкових величин (СВ), визначених на
нехай
СП можна розглядати як сукупність випадкових величин, що залежать від параметраt. Процес може бути дійсним або комплексним залежно від виду СВ
Ми фіксували час. А тепер нехай
СП класифікують в залежності від безперервності або дискретності
1) СП називається процесом з дискретним часом (або випадковою послідовністю) якщо система, в якій він протікає, може змінювати свій стан в дискретні моменти часу.
Наприклад: хтось накупив всяких лотерейних квитків. Виграші відбуваються в певні дні. випадковий процес
2) СП називається процесом з безперервним часом. якщо переходи системи можуть відбуватися в будь-який момент
Наприклад: технічний пристрій може мати три стани. працює нормально, працює з перебоями, ремонтується. випадковий процес
3) СП називається процесом з дискретними станами. якщо в будь-який момент часу безліч його станів звичайно або лічильно (якщо будь-який його перетин - дискретна СВ).
4) СП називається процесом з безперервними станами. якщо безліч його станів незліченну (якщо будь-який його перетин - безперервна або змішана СВ) ..