Випадкові події та їх ймовірності

Подія - будь-яке явище, щодо якої має сенс говорити, настало воно або не настав в результаті певного комплексу умов або випадкового експерименту. Звідси випливає, що подія можна розглядати, як величину, яка може приймати тільки два значення.

Можна виділити види подій.

Подія називається достовірною, якщо воно обов'язково відбувається при кожному здійсненні певної сукупності умов. Наприклад, якщо кинута гральна кістка, то випадання упродовж як мінімум і не більше шести очок є достовірною подією.

Подія називається неможливою, якщо воно явно не станеться ні при одному здійсненні даної сукупності умов. Наприклад, якщо кинута гральна кістка, то випадання понад шість очок є неможливою подією.

Подія називається випадковою, якщо воно може статися, а може і не відбутися при здійсненні даної сукупності умов. Наприклад, якщо кинута гральна кістка, то випадання будь-якого з шести очок є випадковою подією.

Події називаються несумісними, якщо їх одночасна поява при здійсненні даної сукупності умов неможливо, т. Е. Поява події А в даному випробуванні виключає появу події В в цьому ж випробуванні. Наприклад, якщо з урни з чорними і білими кульками випадковим чином витягується біла куля, то його поява виключає витяг чорного кулі в тій же спробі.

Події називаються єдино можливими, якщо поява в результаті випробування одного і тільки одного з них є достовірною подією. Наприклад, якщо стрілок зробив постріл, то обов'язково відбувається одне з двох подій - потрапляння або промах. Ці події єдино можливі.

Сукупність єдино можливих подій випробування називається повною групою подій.

Події називаються рівноможливими, якщо є підстави вважати, що жодне з цих подій не є більш можливим, ніж інші. Наприклад, поява герба або решітки при киданні монети є події рівноможливими.

Якщо - будь-яке подія, то подія, яке у тому, що подія не настав, називається подією протилежним події або запереченням події і позначається.

Сумою подій і називається така подія, що позначається. яке відбувається тільки тоді, коли відбувається хоча б одна з подій або або обидва разом.

Твором подій і називається така подія, що позначається. яке відбувається тільки тоді, коли відбуваються обидві події і одночасно. Якщо і несумісні події, то подія є неможливим.

Події, що відбуваються при реалізації певного комплексу умов або в результаті випадкового експерименту, називаються елементарними наслідками. Вважається, що при проведенні випадкового експерименту реалізується тільки один з можливих елементарних фіналів. Безліч всіх елементарних фіналів випадкового експерименту називається простором елементарних фіналів.

Ті елементарні результати, при яких настає цікавить нас, називаються наслідками, благопріятствующіміетому події.

Вероятностьсобитія - це відношення числа сприятливих цій події елементарних фіналів до загальної кількості всіх можливих і рівно можливих елементарних наслідків експерименту. де - число елементарних фіналів, що сприяють події; - число всіх можливих елементарних наслідків експерименту.

Можна визначити наступні властивості ймовірності:

- ймовірність достовірної події дорівнює 1;

- ймовірність неможливого події дорівнює 0;

- ймовірність випадкової події є позитивне число, укладену між 0 і 1:.

Математичне поняття ймовірності випадкової події є абстрактною характеристикою, властивою не самим цікавлять нас об'єктів матеріального світу, а їх теоретико-множинним моделям. Потрібен якийсь додаткову угоду для того, щоб можна було витягувати відомості про можливості з експериментальних даних. Відповідно до класичним визначенням прийнято оцінювати вірогідність події відносної частотою сприятливих результатів досвіду. Якщо проведено N незалежних випробувань і в n з них спостерігалося подія. то емпірична (вибіркова) оцінка ймовірності. яку можна отримати з цієї серії, дорівнює:. При цьому вважають, що. якщо число випробувань.

Основні теореми теорії ймовірностей

1. Теорема додавання ймовірностей. Імовірність появи хоча б одного з двох спільних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій за вирахуванням ймовірності їх одночасного настання

Якщо і несумісні події, то подія є неможливим. Отже,. Узагальнюючи на кілька попарно несумісних подій, можна записати.

Якщо події утворюють повну групу, то сума ймовірностей цих подій дорівнює одиниці:. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці:.

2. Теорема множення ймовірностей. Припустимо, що із загального числа результатів випробування події сприяють елементарних фіналів, події сприяють елементарних фіналів, а одночасного настання подій і сприяють елементарних фіналів. Якщо подія настала, то це означає, що здійснився один з сприяють йому результатів, причому з цих випадків сприяти події будуть і ті випадків, при яких події і наступають одночасно. У зв'язку з цим вводиться поняття умовної ймовірності. Умовною ймовірністю називають ймовірність події. обчислену в припущенні, що подія вже наступило. Незалежними подіями називаються події, якщо ймовірність однієї з них не залежить від настання або ненастання іншого. Якщо подія незалежно від події. то. Події називаються незалежними в сукупності, якщо кожне з цих подій незалежно в парі з будь-яким твором інших подій, що містить як всі інші події, так і будь-яку їх частину. Незалежність подій в сукупності тягне за собою попарно незалежність цих подій. Для двох випадкових залежних подій ймовірність твори цих подій (т. Е. Одночасної появи в одному випробуванні) дорівнює добутку ймовірностей одного з них на умовну ймовірність іншого, розраховану за умови, що перша подія вже відбулося:. Якщо подія незалежно від події. то. Імовірність одночасного появи декількох попарно незалежних подій дорівнює добутку їх ймовірностей:.

3. Теорема повної ймовірності. Нехай є група подій. що володіють такими властивостями: а) всі події попарно несумісні; б) їх об'єднання утворює простір елементарних фіналів; в) вони утворюють повну групу подій. Такі події називають гіпотезами, оскільки заздалегідь невідомо, яка з цих подій настане. Нехай - деяка подія, яке може статися при настанні одного і тільки одного з подій. Це означає, що . Імовірність події. яке може настати лише за умови появи однієї з несумісних подій. утворюють повну групу, дорівнює сумі добутків ймовірностей кожної з цих подій на відповідну умовну ймовірність події. . Наведена формула називається формулою повної ймовірності.

4. Формула Байеса. Нехай, як і в попередньому випадку маємо сукупність події і групи подій. що володіють тими ж властивостями. Припустимо, що подія відбулася і потрібно визначити, як в зв'язку з цим змінилися ймовірності гіпотез, т. Е.. Це завдання вирішується за допомогою формули Байеса. Формула Байєса дозволяє переоцінити ймовірності гіпотез після того, як стає відомим результат випробування, в результаті якого з'явилося подія. т. е. знайти апостеріорні ймовірності. Використовуючи поняття умовної ймовірності формулу Байеса можна інтерпретувати як імовірність того, що причиною появи події є подія.

5. Формула Бернуллі. Нехай проводиться незалежних випробувань, в кожному з яких подія може з'явитися, або не з'явитися. Будемо вважати, що ймовірність події в кожному випробуванні одна і та ж і дорівнює. Отже, ймовірність ненастання події в кожному випробуванні також є сталою і дорівнює. Імовірність того, що за цих умов при n випробуваннях подія відбудеться рівно k раз і, отже, не відбудеться раз визначається за формулою Бернуллі. де. Формулу Бернуллі називають також формулою біноміального розподілу ймовірностей, оскільки в правій її частині варто -й член бинома Ньютона.

6. Локальна теорема Лапласа. При великих формулою Бернуллі користуватися важко через громіздкість обчислень. Для цього випадку доведено так звана локальна теорема Лапласа, дає асимптотичну формулу, яка дозволяє наближеною знайти ймовірність появи події раз у випробуваннях, якщо число випробувань досить велике. де і . Для функції складені таблиці, відповідні позитивним значенням аргументу. оскільки. Формула Лапласа дає тим більшу точність, чим більше.

7. Інтегральна теорема Лапласа. Якщо при тих же умовах, що і в попередньому випадку, потрібно знайти ймовірність того, що подія з'явиться в випробуваннях не менше раз і не більше разів, то користуються інтегральної теореми Лапласа. де - таблична функція, звана функцією Лапласа. Ця функція має такі властивості: а); б); в) т. е. функція непарна. Значення аргументу x знаходяться за формулами:.

Основна відмінність поняття ймовірності від відносної частоти появи події полягає в тому, що першу характеристику обчислюють до досвіду, а другу - після досвіду. У тому випадку, якщо відносна частота настання події виявляє стійку закономірність, т. Е. Якщо відношення для досить великих і більшості серій випробувань мало відхиляється від деякої постійної величини, то цю постійну величину називають статистичною ймовірністю появи події. Для зіставлення цих величин також використовується функція Лапласа. Нехай проводиться незалежних випробувань, в кожному з яких подія може з'явитися, або не з'явитися. Будемо вважати, що ймовірність події в кожному випробуванні одна і та ж і дорівнює. Отже, ймовірність ненастання події в кожному випробуванні також є сталою і дорівнює. Необхідно визначити ймовірність того, що відхилення відносної частоти від ймовірності за абсолютною величиною не перевищує e> 0. Це здійснюється за допомогою такої формули.

8. Формула Пуассона. При тих же умовах, що і в попередніх випадках, але якщо велике (), а мало (), замість локальної формули Лапласа зручніше користуватися асимптотичної формулою Пуассона де.