Використання методу ізоклін при вирішенні диференціальних рівнянь першого порядку - міжнародний

1. Піскунов Н.С. Диференціальне й інтегральне числення: підручник в 2-х томах. Том 2. - М. Наука - Головна редакція фізико-математичної літератури, 1985. - 560 с.

Диференціальне рівняння першого порядку ý = F (x, y) має спільне рішення, яке визначає собою сімейство інтегральних кривих на площині хОу.

Якщо змінні х і у правій частині диференціального рівняння розглядати як координати точки М (х, у) площини хОу, то похідна виражає кутовий коефіцієнт дотичної до інтегральної кривої в точці М (х, у). Таким чином, диференціальне рівняння ý = F (x, y) визначає в кожній точці площини хОу, що належить області існування функції, напрямок інтегральної кривої, що проходить через цю точку, або визначає поле напрямків на площині хОу.

Зображуючи напрямок в кожній точці області існування функції маленької стрілкою, що виходить з цієї точки, можна побудувати поле напрямків диференціального рівняння, яке дає наближене уявлення про розташування інтегральних кривих цього рівняння.

Ізокліни диференціального рівняння ý = F (x, y) називаються геометричні місця точок площини хОу, в яких інтегральні криві рівняння мають один і той же напрямок. Рівняння є рівнянням ізокліни, відповідної заданому напрямку, де - параметр. Надаючи близькі числові значення, виходить досить густа мережа ізоклін - сімейство ізоклін, за допомогою яких можна наближено побудувати інтегральні криві диференціального рівняння. Нульова ізокліни дає рівняння ліній, на яких можуть перебувати точки максимуму і мінімуму інтегральних кривих. Точки перетину двох або декількох ізоклін можуть бути особливими точками диференціального рівняння, тобто такими точками, в яких права частина рівняння ý = F (x, y) не визначена.

Метод ізоклін полягає в наступному:

1. Будується досить густа сітка ізоклін для різних значень k і на кожній ізокліни зображуються невеликі відрізки з нахилом k.

2. Починаючи з точки (x0. Y0), поводиться лінія, яка, буде перетинати кожну ізокліни під кутом, заданим полем напрямків. Отримана таким чином крива і буде наближеним зображенням (ескізом) інтегральної кривої рівняння, що проходить через точку (x0. Y0).

Нехай дано рівняння і потрібно побудувати поле напрямків і інтегральні криві, що визначаються цим рівнянням.

Спочатку будуються графіки ізоклін. Рівняння сімейства ізоклін даного рівняння або. Ізокліни представляють собою сімейство квадратичних парабол з осями, що збігаються з віссю Ох. Змінюючи параметр k, виходить сімейство графіків ізоклін, на них будується поле напрямків.

При k = 0 виходить ізокліни, у всіх точках якої напрямок поля паралельно осі Ох (Рис. 1).

При k = 1 виходить ізокліни, у всіх точках якої напрямок поля утворює з віссю Ох кут.

При k = -1 виходить ізокліни, у всіх точках якої напрямок поля утворює з віссю Ох кут.

Мал. 1. Поле напрямків рівняння.

Здається певна точка (x0. Y0) і поводиться лінія, яка, буде перетинати кожну ізокліни під кутом, заданим полем напрямків. На рис. 2 показані інтегральні криві, що стосуються поля напрямків.

Метод ізоклін як метод наближеного розв'язування задачі Коші застарів. У його в основі лежить алгоритм зображення фрагмента поля напрямки, а сучасні комп'ютери можуть миттєво і як завгодно детально намалювати поле напрямків, і досить точно зобразити інтегральну криву.

Мал. 2. Інтегральні криві рівняння.

Однак, метод ізоклін ефективно працює як інструмент дослідження поведінки рішень. Він дозволяє зобразити області характерного поведінки інтегральних кривих і як засіб ескізного уявлення інтегральних кривих зберігає своє значення і в нинішню епоху бурхливого розвитку обчислювальних машин і обчислювальних методів.

Пропонуємо вашій увазі журнали, що видаються у видавництві «Академія природознавства»

(Високий імпакт-фактор РИНЦ, тематика журналів охоплює всі наукові напрямки)