Відсотки та їх застосування
Чому я вибрала тему «Відсотки»?
Відсотки - це одна з найскладніших тем математики, і дуже багато учнів не можуть або взагалі не вміють вирішувати завдання на відсотки. А розуміння відсотків і вміння виробляти процентні розрахунки необхідні для кожної людини. Прикладне значення цієї теми дуже велика і зачіпає фінансову, економічну, демографічну та інші сфери нашого життя. Вивчення відсотка продиктовано самим життям. Уміння виконувати процентні обчислення і розрахунки необхідно кожній людині, так як з відсотками ми стикаємося в повсякденному житті. Проаналізувавши програму середньої школи з математики, прийшла до висновку, що за існуючими програмами вирішення завдань на відсотки передбачено в основному в 5-6 класах, а в наступних класах даній темі віддана незначна частина навчального часу. Німецький фізик 18-го століття Ліхтенберг сказав: «Те, що ви були змушені відкрити самі, залишає в вашому розумі доріжку, якою ви зможете знову скористатися, коли в тому виникне необхідність». Тому я вирішила і зробила підбірку задач з ДПА - 9 класів, з ЄДІ - 11 класів на банківські відсотки, де застосовується формула складних відсотків.
Мета дослідницької роботи
· Розширення знань про застосування процентних обчислень в задачах і з різних сфер життя людини;
· Познайомитися з історією виникнення відсотків;
· Вирішувати завдання на відсотки різними способами;
· Зробити добірку завдань з ДПА - 9 кл. ЄДІ -11кл. які вирішуються за формулою складних відсотків;
· Дослідити бюджет сім'ї і відвідуваність гуртків учнів мого класу;
· Навчитися складати різні діаграми і таблиці;
· Прибуття з ресурсами Internet;
· Отримати досвід публічного виступу.
1. З історії походження відсотків
Відсотки застосовувалися тільки в торгових і грошових угодах. Потім область їх застосування розширилася, відсотки зустрічаються в господарських і фінансових розрахунках, статистиці, науці і техніці. Нині відсоток - це приватний вид десяткових дробів, сота частка цілого (прийнятого за одиницю).
2. Рішення задач на відсотки різними способами
При вирішенні завдань на відсотки в 5 - 6 класах застосовують такі правила:
1. Знаходження відсотків від числа:
Щоб знайти відсотки від числа потрібно, відсотки перетворити в десяткову дріб і помножити на це число.
2. Знаходження числа за його відсотками:
Щоб знайти число за його відсотками потрібно, відсотки перетворити в десяткову дріб і число розділити на цей дріб.
3. Знаходження процентного відношення чисел:
Щоб знайти процентне відношення чисел, треба ставлення цих чисел помножити на 100.
Завдання з відсотками можна вирішити різними способами: рівнянням, складанням таблиці, застосовуючи пропорцію, по діям, використовуючи правила. Зробила підбірку і вирішила завдання з ЄДІ - 11, ДПА -9 класів.
Деякі з них:
За перший рік підприємство збільшило випуск продукції на 8%, в наступному році випуск збільшився на 25%. На скільки відсотків зріс випуск продукції в порівнянні з початковою?
Це завдання можна вирішити двома способами:
1) використовуючи пропорцію
1 спосіб: Дізнаюся на скільки збільшився випуск продукції за перший рік.
Нехай: х - початковий випуск
у - після збільшення на 8%
Тепер, дізнаюся на скільки збільшився випуск продукції за другий рік.
Нехай: 1.08х - тепер уже початковий випуск
z - після збільшення на 25%, тоді
В результаті у нас вийшло, що випуск продукції дорівнює 1,35;
Значить випуск збільшився на 0,35 або на 35%
1) 1,00 + 0,08 = 1,08 (дізналися випуск продукції після першого збільшення)
2) 1,00 + 0,25 = 1,25 (дізналися випуск продукції після другого збільшення)
3) 1,08 * 1,25 = 1,35 (це випуск продукції після двох збільшень)
4) 1,35-1,00 = 0,35 (збільшення випуску продукції після двох збільшень)
ВІДПОВІДЬ: випуск продукції в порівнянні з початковою виріс на 35%.
Внаслідок інфляції ціни зросли на 150%. Дума зажадала від уряду повернення цін до попереднього рівня. Для цього ціни повинні бути зменшені (на скільки відсотків)?
Вирішимо цю задачу за допомогою пропорцій.
Нехай: х - початкова ціна
у - ціна після підвищення цін на 150%
40% - склала первісна ціна від інфляції, тому ціни повинні бути зменшені на 60%
ВІДПОВІДЬ: ціни повинні бути зменшені на 60%.
Зошит коштує 40 рублів. Яку найбільшу кількість таких зошитів можна купити на 650 рублів, після зниження на 15%?
Вирішимо цю задачу пропорцією і по діях.
Нехай: х - на скільки рублів знизилася ціна зошитів.
40 - 100% х = 40 * 0,15 = 6 (рублів)
1) 40 - 6 = 34 (грн.) Стала коштувати зошит
2) 650 * 34 = 19 (зошитів) можна купити на 650 рублів
ВІДПОВІДЬ: 19 зошитів можна купити на 650 рублів
Скільки грамів води треба додати до 50г розчину, що містить 8% солі, щоб отримати 5% розчин?
Вирішимо цю задачу рівнянням.
Нехай: х - кількість води, яке треба додати
(50 + х) - нове кількість розчину
50 * 0,08 - кількість солі у вихідному розчині
0,05 (50 + х) кількість солі в новому розчині
Так як кількість солі від додавання не змінилося, то воно однаково в обох розчинах - і в вихідному, і в новому.
ВІДПОВІДЬ: 30 грамів води треба додати, щоб отримати 5% розчин.
Висновок: вирішила задачу за допомогою рівняння.
Свіжі гриби по масі містять 90% води, а сухі 12%. Скільки вийде сухих грибів з 22 кг свіжих?
Рішення: вирішимо завдання за допомогою таблиці і рівняння.
Відповідь: 2,5 кг сухих грибів.
3. Рішення задач на складні відсотки
Складним відсотком називається сума доходу, яка утворюється в результаті інвестування грошей за умови, що сума нарахованого простого відсотка не виплачується в кінці кожного періоду, а приєднується до суми основного вкладу і в наступному платіжному періоді сама приносить дохід [3].
Складні відсотки - це відсотки, отримані на нараховані відсотки.
Формула складного відсотка - це формула, за якою розраховується підсумкова сума з урахуванням нарахування відсотків.
х (1+ 0,01А) n - періодичне збільшення деякої величини на одне і те ж число відсотків.
де х - початковий внесок, сума.
а - відсоток (и) річних
n- час розміщення вкладу в банку
Але, ми можемо і зменшувати ціну, тому цю формулу можна записати і по-іншому: х (1 0,01А) n - періодичне зменшення деякої величини на одне і те ж число відсотків.
Уявімо, що ви поклали 10 000 руб в банк під 10% річних.
Через рік на вашому банківському рахунку буде лежати
сума SUM = 10000 + 10000 * 10% = 11 000 руб.
Ваша прибуток - 1000 рублів.
Ви вирішили залишити 11 000 руб. на другий рік в банку під ті ж 10%.
Через 2 роки в банку накопичиться 11000 + 11000 * 10% = 12 100 руб.
Прибуток за перший рік (1000 рублів) додалася до основної суми (10 000р) і на другий рік вже сама генерувала нову прибуток. Тоді на 3-й рік прибуток за 2-й рік додасться до основної суми і буде сама генерувати нову прибуток. І так далі.
Цей ефект і отримав назву складний відсоток.
Коли весь прибуток додається до основної суми і в подальшому вже сама виробляє нову прибуток.
Вирішимо цю задачу за формулою складних відсотків
де х - початковий внесок.
а - відсоток річних.
n - час розміщення вкладу в банку.
Застосуємо цю формулу до нашого завдання
відсоток річних - 12
n - 6 років, значить
ВІДПОВІДЬ: через 6 років на рахунку буде лежати сума у вигляді 3947 руб. і 65 коп ..
Висновок: вирішила завдання, застосувавши нову властивість знаходження відсотків за формулою складних відсотків.
Після двох послідовних знижень цін на один і той же число відсотків вартість товару з 400 рублів знизилася до 324 рублів. На скільки відсотків вартість товару знижувалася кожен раз?
Вирішимо цю задачу за формулою складних відсотків - х (1-0,01а) n
400 * (1-0,01а) 2 = 324
ВІДПОВІДЬ: вартість товару кожного разу знижувалася на 10%
За пенсійним внеском банк виплачує 12% річних. По закінченню кожного року ці відсотки капіталізуються, тобто нарахована сума приєднується до внеску. На даний вид вкладу був відкритий рахунок на 80000 рублів, що не поповнювався і з якого не знімалися гроші протягом двох років. Який дохід був отриманий після закінчення цього терміну?
Це завдання можна вирішити двома способами: 1) по діям
2) за формулою складних відсотків
1) дізнаємося дохід за перший рік
2) знайдемо суму на рахунку після першого року
80000+ 9600 = 89600руб.
3) визначимо дохід за другий рік
89600 * 0,12 = 10752 руб.
4) дізнаємося кінцеву суму на рахунку
10752 + 89600 = 100352руб.
5) знайдемо дохід після двох років
100352- 80000 = 20352 руб.
ВІДПОВІДЬ: після закінчення двох років вийшов дохід в розмірі 20352 руб.
Цю ж задачу вирішимо за формулою банківських відсотків: х (1 + 0,01А) n
Нехай: х - 80000 - початковий внесок
n - 2 роки, отримаємо:
80000 (1+ 0,12) 2 = 80000 * 1,12 2 = 100 352 руб.
Цим дізналися кінцеву суму на рахунку після двох років. Тепер треба дізнатися який дохід був отриманий. Для цього з кінцевої суми віднімемо початковий внесок.
100352 - 80000 = 20 352руб.
ВІДПОВІДЬ: після закінчення терміну був отриманий дохід у розмірі 29 352 руб.
Висновок: вирішила задачу двома способами, довівши, що простіше і швидше вирішити задачу по формулі складних відсотків, а не по діям.
Банк пропонує клієнтам два види вкладів. Перший «До запитання» з наступним порядком нарахування відсотків: кожні 6 місяців рахунок збільшується на 10% від суми, що є на рахунку клієнта в момент нарахування. Другий вклад «номерний» з щорічним нарахуванням відсотків за вкладом. Скільки відсотків річних повинен нараховувати банк по другому внеску, щоб однакові суми, належні клієнтом на кожні з зазначених рахунків, через два роки виявилися знову рівними?
Вирішимо цю задачу рівнянням, застосовуючи форму банківських відсотків.
Нехай: х - початковий внесок; тоді через 6 місяців сума на рахунку буде дорівнює
через рік сума буде
Тоді через два роки сума буде дорівнює х (1 + 0,1) 4
Сума вкладу «Номерний» через два роки, після двох нарахувань дорівнює х (1 + 0,01х) 2
При складанні сімейного бюджету я використовувала правило знаходження відсотків від числа для того, щоб дізнатися процентний дохід в бюджет кожного з батьків.
Для того щоб знайти в процентах зарплату, треба суму помножити на 100 і розділити на 14000.
Висновок: склала бюджет своєї сім'ї, застосувала властивість знаходження відсотків від числа і представила дані у вигляді діаграми.
Розподіл сімейного бюджету
Щоб наочно побачити розподіл сімейного бюджету я склала таблицю.
З діаграми видно, що більша частина учнів (6 осіб) - 40% відвідують волейбол.
33% (5человек) відвідують - кулінарію і майстриню.
20% (3 особи) - туризм.
13% (2 людини) - лижну
6% (1 людина) - хокей і флорбол.
При обчисленні я застосовувала властивість знаходження відсотків від числа.
Для того щоб знайти, скільки відсотків становить відвідуваність гуртків, треба кількість осіб, які відвідують той чи інший гурток помножити на 100 і розділити на 15 (кількість осіб в класі).
1) 6 * 100 = 40% (волейбол і не відвідують гуртків взагалі)
2) 2 * 100 = 13% (лижна)
3) 3 * 100 = 20% (туризм)
4) 1 * 100 = 6% (хокей і флорбол)
5) 5 * 100 = 33% (кулінарія та майстриня)
Висновок: досліджувала відвідуваність гуртків, застосувала властивість знаходження відсотків від числа, склала таблицю і діаграму.
У ході проробленої роботи я дізналася, що складні відсотки - це відсотки, отримані на нараховані відсотки.
Розрахуйте, що вигідніше для вкладника: отримати 20 000 рублів сьогодні або отримати 35 000 рублів через 3 роки, якщо відсоткова ставка дорівнює 17%.
Відповідь. Отримати 35000 рублів через 3 роки є більш вигідним рішенням, при даному значенні процентної ставки.
Якою має бути ставка позичкового відсотка, щоб 10 000 рублів збільшилися до 30 000 рублів, за термін вкладу 5 років?
Відповідь. 10 000 рублів збільшаться до 30 000 рублів за 5 років при ставці позикового відсотка 24,573%
Відповідь: сума щорічно збільшувалася на 10%.
Відповідь: 280000 рублів, 360000 рублів.
За зберігання грошей Ощадбанк нараховує вкладнику 8% річних. Вкладник поклав на рахунок 5000 р. і вирішив протягом п'яти років не знімати гроші з рахунку і не брати процентні нарахування. Скільки грошей буде на рахунку вкладника через рік? через два роки? за п'ять років?
Відповідь: Обчислюючи послідовно, знайдемо, що через п'ять років на рахунку вкладника буде 7346 р. 64 к.