Відносна похибка наближеного значення точного числа

Точність вимірювання характеризується за допомогою відносної похибки.
Відносною похибкою наближеного значення х називається відношення абсолютної похибки цього значення до модуля точного значення а.
Якщо точне значення а невідомо, то використовують граничну відносну похибку - таке позитивне число # 948 ;, що.
Для обчислення відносних похибок часто використовуються наближені формули

Ці формули тим точніше, чим ближче значення х до точного значення а. т. е. чим менше похибка або # 916 ;.
Приклад. Які граничні абсолютна і відносна похибки числа 1.41 - наближеного значення числа. Так як 1,410 <<1,415, то

Отже, можна покласти # 916; = 0.005. Далі,. звідки # 948; = 0.0036 або # 948; = 0.36%.
Кажуть, що наближене значення х (записане у вигляді десяткового дробу) має n вірних знаків, якщо абсолютна похибка цього числа менше або дорівнює половині одиниці егоn -го розряду.

Наприклад. якщо 9.263 має три вірних знака (9, 2 і 6), то абсолютна похибка цього числа
.

Елементарними функціями називаються функції одного аргументу, значення яких виходять за допомогою кінцевого числа обчислювальних операцій над аргументом, залежної змінної та постійними числами. Розкладання елементарних функцій в статечні ряди

Доведення. Для довільного виберемо так, щоб. Застосуємо до формулу Тейлора із залишковим членом у формі Лагранжа:. де. За умовою, і. За ознакою Даламбера ряд з членами сходиться (). Тому його загальний член прямує до 0, значить і при. Через довільність отримуємо, що.

Для отримання розкладання зауважимо, що. і для будь-якого відрізка. Тому лема застосовна с. і ми отримуємо:.

Розкладання для дозволяє нам вивести дуже важливі для подальшого формули Ейлера. Спочатку дамо необхідні визначення.

Якщо члени ряду - комплексні числа (), то збіжність ряду означає, що одночасно сходяться ряди і. Абсолютна збіжність ряду. за визначенням, є збіжність ряду. тобто ряду.

Очевидні нерівності показують, що абсолютна збіжність ряду рівносильна одночасної абсолютної збіжності рядів. і абсолютно сходяться ряди з комплексними членами мають всі властивості абсолютно збіжних рядів з дійсними членами.

Підставами в розкладання для замість величину. Тоді (поки формально) отримаємо:. Групуючи дійсні та уявні складові, отримуємо:.

Для обгрунтування законності наших дій зауважимо, що ряд. як доведено вище, абсолютно сходиться, тому в ньому можна переставити складові (зокрема так, як це зроблено вище), і сума його збережеться. Згадаємо, що і для.

Якщо в розкладання для підставити замість число. то отримаємо:. Тому з двох отриманих формул слід, що. Крім того, для будь-якого комплексного числа.

Використовуємо рівність:. Розкладемо в ряд як прогресію при. . Тоді, інтегруючи це розкладання, отримаємо:. Це рівність справедливо при. Крім того, тому що ряд сходиться по теоремі Лейбніца, рівність збережеться і при.

Використовуємо рівність:. Далі, як і вище, при. Тому, при. Крім того, ряд сходиться. Значить, написане вище розкладання має місце і при.

Якщо позначити. то. Тому. Це розкладання вірно для всіх. де - радіус збіжності. Для знаходження використовуємо формулу. Крім того, без докази, відзначимо, що при розкладання справедливо і при. а при - для.

На закінчення наведемо кілька корисних наслідків з розкладання.

Слідство 1. Легко бачити,. Тому при. Вважаючи. отримуємо, що і. Цим розкладанням можна скористатися при обчисленні логарифмів і при доказі формули Стірлінга.

Слідство 2. Формула Стірлінга.

Наведемо цю формулу без докази.

9. Наближене рішення алгебраїчних рівнянь

Інтерполяція. інтерполювання - в обчислювальній математиці спосіб знаходження проміжних значень величини за наявним дискретному набору відомих значень.

Багатьом з тих, хто стикається з науковими та інженерними розрахунками часто доводиться оперувати наборами значень, отриманих експериментальним шляхом або методом випадкової вибірки. Як правило, на підставі цих наборів потрібно побудувати функцію, на яку могли б з високою точністю потрапляти інші одержувані значення. Таке завдання називаетсяаппроксімаціей. Інтерполяцією називають такий різновид апроксимації, при якій крива побудованої функції проходить точно через наявні точки даних.

Існує також близька до інтерполяції задача, яка полягає в апроксимації будь-якої складної функції іншої, більш простою функцією. Якщо деяка функція занадто складна для продуктивних обчислень, можна спробувати обчислити її значення в декількох точках, а по ним побудувати, тобто інтерполювати, більш просту функцію. Зрозуміло, використання спрощеної функції не дозволяє отримати такі ж точні результати, які давала б початкова функція. Але в деяких класах завдань досягнутий виграш в простоті і швидкості обчислень може переважити отримувану похибка в результатах.

Слід також згадати і зовсім інший різновид математичної інтерполяції, відому під назвою «інтерполяція операторів». До класичних робіт по інтерполяції операторів відносяться теорема Рісса-Торіна (Riesz-Thorin theorem) і теорема Марцинкевича (Marcinkiewicz theorem), що є основою для безлічі інших робіт.

Розглянемо систему незбіжних точок () з деякою області. Нехай значення функції відомі тільки в цих точках:

Завдання інтерполяції полягає в пошуку такої функції із заданого класу функцій, що

§ Точки називають вузлами інтерполяції. а їх сукупність - інтерполяційної сіткою.

§ Пари називають точками даних або базовими точками.

§ Різниця між «сусідніми» значеннями - кроком інтерполяційної сітки. Він може бути як змінним так і постійним.

§ Функцію - інтерполюючої функцією або інтерполянтом.

1. Нехай ми маємо табличну функцію, на зразок описаної нижче, яка для кількох значень визначає відповідні значення: